Isomorfismo $C_0(X) \otimes A \to C_0(X,A)$

Question

Dejemos que $A$ ser un $C^*$ -álgebra. Quiero demostrar que $$ \phi : C_0(X) \otimes_\alpha A \to C_0(X,A): f \otimes a \mapsto a \cdot f $$ es un isomorfismo, donde $\alpha$ es una norma que convierte el producto tensorial en un $C^*$ -Álgebra. Nótese que $C_0(X)$ es conmutativo y, por tanto, nuclear. Como $\phi(C_0(X) \otimes A)$ es denso (con $\otimes$ el producto tensorial algebraico) se hace, si la restricción de $\phi $ a $C_0(X) \otimes A$ es una isometría. Entonces $\phi$ es claramente sobreyectiva y también inyectiva. (Sobre el producto tensorial algebraico $\phi$ es inyectiva, pero creo que esto no se extiende necesariamente a la terminación).

Así que mi pregunta sería qué se puede tomar para $\alpha$ para demostrar de forma eficiente que $\phi$ es una isometría.

Answer 1

Por construcción, $\phi$ es un $*$ -epimorfismo, si está bien definido . El argumento de la buena definición, como suele ocurrir, está ligado a la prueba de que $\phi$ es uno a uno.

El hecho clave es el siguiente:

Lema. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $\sum a_j\otimes f_j=0$

2. Existe $T\in M_n(\mathbb C)$ tal que $\sum_kT_{kj}a_k=0$ y $\sum_jT_{kj}f_j=f_k$ .

Ahora, si $\sum a_j\otimes f_j=0$ tomamos $T$ del lema, y luego $$ \sum_ka_kf_k=\sum_k\sum_jT_{kj}a_kf_j=\sum_j\left(\sum_kT_{kj}a_k\right)f_j=0. $$ Así que $\phi$ está bien definida.

Por el contrario, si $\sum_ja_jf_j=0$ Al reordenar la suma, podemos suponer que el $a_j$ son linealmente independientes. Pero entonces, para cualquier $t\in X$ , $\sum f_j(t)a_j=0$ , lo que implica $f_j(t)=0$ por la independencia lineal. Así, $f_j=0$ y así $\sum a_j\otimes f_j=0$ (en la versión reordenada, pero esto implica que la versión original también es cero).

Así que $\phi$ es uno a uno. Podemos usar esto para definir $$\|x\|_\alpha:=\|\phi(x)\|.$$ Desde $\alpha$ es una norma y $C_0(X)$ es nuclear, obtenemos que $\|x\|_\alpha=\|x\|$ es decir, que $\phi$ es isométrico.

Un isomorfismo es isométrico, así que como era de esperar $\|x\|_\alpha=\|\phi(x)\|$ para cualquier $x\in C_0(X)\otimes_\alpha A$ y cualquier norma tensorial que se pueda definir en $C_0(X)\otimes A$ .

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Para responder a la pregunta de por qué $\phi$ es sobreyectiva: como es una $*$ -homorfismo su imagen es cerrada, por lo que basta con mostrar la densidad. Fijar $f\in C_0(X,A)$ y $\varepsilon>0$ . Existe $K$ compacto tal que $\|f\|<\varepsilon$ fuera de $K$ . Para cada $x$ existe, por continuidad, una vecindad abierta $V_x$ de $x$ tal que $\|f(y)-f(x)\|<\varepsilon$ para todos $y\in V_x$ . Por compacidad podemos cubrir $K$ con $V_{x_1},\ldots,V_{x_m}$ .

Dejemos que $\{g_j\}$ ser un partición de la unidad subordinado a $\{V_{x_j}\}$ y que $$g(t)=\sum_jf(x_j)\,g_j(t).$$ Siendo una suma de funciones continuas, $g$ es continua. Para $t\in\bigcup_jV_{x_j},$ $$\|f(t)-g(t)\|=\Big\|\sum_j(f(t)-f(x))g_j(t)\Big\|\leq\varepsilon\sum_jg_j(t)=\varepsilon.$$ Y para $t$ fuera de la tapa abierta, $g(t)=0$ y $\|f(t)\|<\varepsilon$ . Así que $\|f-g\|<\varepsilon$ .