Suma de $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+(n^2-1)^2}$

Question

Me encontré con estas dos series $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+(n^2-1)^2}$$ and $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-1)}{n^2+(n^2-1)^2}.$$ ¿alguien reconoce que la suma de una serie?

Answer 1

Que puede ser evaluado en términos de la función digamma, ya que: $$ n^2 + (n^2-1)^2 = n^4 - n^2 + 1 = (n^2-\omega)(n^2-\omega^2), $$ con $\omega=\exp(2\pi i/3)$, y: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+\alpha}=\frac{-1+\pi\sqrt{\alpha}\coth(\pi\sqrt{\alpha})}{2\alpha},$$ $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+\alpha}=\frac{-2+\pi\sqrt{\alpha}\coth(\pi\sqrt{\alpha}/2)-\pi\sqrt{\alpha}\tanh(\pi\sqrt{\alpha}/2)}{2\alpha}.$$

Answer 2

Utilizando el Teorema de los Residuos, se puede demostrar que, para bien comportado funciones de $f(z)$:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n f(n) = - \sum_{k=1}^m \mathrm{Res}_{z=z_k} \pi \csc{(\pi z)} f(z)$$

donde el $z_k$ son los polos de $f$. No voy a mostrar esto por ahora, solo que me tenga en cuenta que $f(z) = (z^2 + (z^2-1)^2)^{-1}$ es lo suficientemente bien comportado de modo que podemos usar la fórmula anterior para evaluar la suma.

Para encontrar el $z_k$, se resuelve $ z^2 + (z^2-1)^2 = z^4-z^2+1 = 0$, o

$$z_{(\pm \pm )} = \pm \exp{\left (\pm i \frac{\pi}{6} \right )}$$

Ahora evaluar los residuos asociados con los polos y sumarlos. El resultado (después de algunos álgebra) es

$$\sum_{k=1}^m \mathrm{Res}_{z=z_k} \pi \csc{(\pi z)} f(z) = \pi \csc{\left ( \frac{\pi}{3} \right )} \Im{\left [\exp{\left (-i \frac{\pi}{6} \right )} \csc{\left (\pi \exp{\left (i \frac{\pi}{6} \right )}\right )}\right ]} $$

El cálculo se reduce a la evaluación de las $\csc{\left (\pi \exp{\left (i \frac{\pi}{6} \right )}\right )}$. De nuevo, la dejaré al lector por ahora. El resultado es

$$S = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n f(n) = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3} \cos{\left ( \sqrt{3} \frac{\pi}{2} \right )} \sinh{\left ( \frac{\pi}{2} \right )}+\sin{\left ( \sqrt{3} \frac{\pi}{2} \right )} \cosh{\left ( \frac{\pi}{2} \right )}}{\cosh{\pi} - \cos{(\sqrt{3} \pi)}}$$

Sin embargo, esto no es lo que nos pedían; más bien, el resultado que buscamos es

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n f(n) = \frac{1}{2} (S-1) $$

He verificado con un analítico y numérico resultado en Mathematica.