Demostrar que $\{H_1,\dots,H_k\} \models F$ si y sólo si $(H_1 \land \dots \land H_k) \rightarrow F$ es una tautología

Question

Supongamos que $H,F$ son fórmulas. Cómo demostrar que $\{H_1,\dots,H_k\} \models F$ si y sólo si $(H_1 \land \dots \land H_k) \rightarrow F$ es una tautología. Mi intuición es que eso es correcto, pero no sé cómo demostrarlo de forma limpia y precisa.

Definición $\models$ : $ H \models F$ significa que toda interpretación adecuada para ambos $H$ y $F$ que es un modelo para $H$ también es un modelo para $F$ .

Answer 1

Tenga en cuenta que puede escribir " $X$ es una tautología" como " $\emptyset\models X$ ", con el conjunto vacío de condiciones previas.

Así que tenemos:

$$\emptyset\models (H_1 \wedge \cdots \wedge H_k) \to F$$

Introducir condiciones previas en ambas partes:

$$\{H_1 \wedge \cdots \wedge H_k\} \models (H_1 \wedge \cdots \wedge H_k) \wedge ((H_1 \wedge \cdots \wedge H_k) \to F)$$

Simplifique la implicación:

$$\{H_1 \wedge \cdots \wedge H_k\} \models F$$

Answer 2

Decir que $\{H_1,\dots,H_k\}\models F$ es decir que no hay ninguna interpretación que haga todas las $H_i$ y haciendo $F$ falso. Decir que $(H_1\land\dots\land H_k)\to F$ es tautología significa, gracias a la tabla de verdad para la implicación, que no hay interpretación que haga $H_1\land\dots\land H_k$ verdadero y haciendo $F$ falso. Según la tabla de verdad de la conjunción, son lo mismo.