Pregunta sobre las propiedades de la densidad de Shnirelman

Question

En los métodos elementales de la teoría analítica de números de Gelfond y Linnik, se afirma que si $d(A) + d(B) > 1$ , entonces podemos encontrar $A',B'$ donde $A' \subseteq A$ y $B' \subseteq B$ tal que $d(A') + d(B')$ es lo más parecido a $1$ como queremos.

No tengo claro por qué esto sería cierto.

Estos son los supuestos:

$A,B$ son secuencias infinitas de números enteros que empiezan por $0$ con en orden secuencial como $0, a_1, a_2, \cdots$ donde $0 < a_1 < a_2 < \cdots$

La densidad de Shnirelman se define como: $$d(A) = \inf\limits_{n}\frac{A(n)}{n}$$

donde: $$A(n) = \sum\limits_{0<a_i\le{n}}{1}$$

Por lo tanto, está claro que: $$0 \le \frac{A(n)}{n} \le 1$$

Agradecería que alguien explicara por qué podemos hacer la suposición de que $d(A') + d(B')$ puede estar tan cerca de $1$ como deseamos.

Answer 1

Creo que he entendido el razonamiento aquí.

Esto es lo que pienso:

(1) Podemos suponer que $d(B) \le d(A) < 1$ .

Nota: Si $d(A)=1$ , entonces establecemos $B' = B - \{1\}$ para conseguir $d(A)+d(B')=1$

(2) Que $\epsilon$ sea cualquier número tal que $1 > \epsilon > 0$

(3) Podemos suponer que $1 - d(A) > \epsilon$

Nota: Si no, entonces ponemos $B' = B - \{1\}$ para conseguir $\epsilon > 1 - d(A)-d(B')$

(4) Existen enteros $x,y$ tal que $1 - d(A) - \epsilon \le \frac{x}{y} < 1 - d(A)$

(5) A partir de la definición de densidad, sabemos que $d(B) \le \frac{B(y)}{y}$

(6) Utilizando $y$ podemos construir $B'$ eliminando $B(y)-x$ elementos de $B$ .

Nota: $\frac{x}{y} < d(B) \le \frac{B(y)}{y}$ desde $d(A) + d(B) > 1$ pero $d(A) + \frac{x}{y} < 1$ .

Por favor, dígame si puede exponer el argumento de forma más concisa o si ve algún problema en mi razonamiento.