El error de la diferencia central parece grande

Question

Para una función $f(x)=e^{2x}-\cos(2x)$ ,

en los puntos de la red $x \in {-0.3,-0.2,-0.1,0}$

Realizo una diferencia central para la derivada en $x=-0.2$

$$\frac{df}{dx}=\frac{f(-0.1)-f(-0.3)}{2*(-0.1--0.3)}=0.28795$$ La derivada de esta función (según las matemáticas) es $0.561803$ Así que el error es $$Abs[0.561803-0.28795]=0.273853$$

Tengo una fórmula para el límite superior del error, y esa fórmula es $$\frac{M^*\Delta x^2}{3!}=\frac{8*(-0.1--0.3)}{6}=0.0533333\\\text{Where }M^*=\text{Max}(f''(x)|x\in[-0.3,0])=f(0)=8$$

El problema es el error, $0.27$ es mayor que el límite de error supuesto, $0.05$ . Sin embargo, cuando grafico esta función con su diferencia central, parece correcta.

¿Alguna idea de por qué mis derivados son más altos que el límite superior? El error parece bastante alto.

Answer 1

El problema radica en su definición de $\Delta x$ Recuerda que

$$f'_{FD}(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - f(x - \Delta x)}{2\Delta x}$$

Tomando $x = -0.2$ y $\Delta x = 0.1$ obtenemos

$$f'_{FD}(-0.2) \approx \frac{f(-0.1) - f(-0.3)}{2 \cdot 0.1} = 0.575941 \tag{1}$$

Así que el error real es

$$\epsilon = |f'_{FD}(-0.2) - f'(-0.2)|= 0.0141374 \tag{2}$$

Ahora, la predicción del error es

$$\epsilon_{\max} = \frac{|f^{(3)}(c)|\Delta^2 x}{6} \stackrel{c=-0.3}{=} 0.0148461 \tag{3}$$

En efecto, se puede ver que

$$\epsilon < \epsilon_\max$$