Logaritmos y exponenciales

Question

Utiliza la definición de integral y las propiedades de las integrales definidas para demostrar que $\ln(x) < 0$ cuando $0 < x < 1$ y $\ln(x) > 0$ cuando $x > 1$ .

Answer 1

HINT

Usted está definiendo $$ \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}, $$

así que muestra $\ln x > 0$ siempre que $x>1$ mostrando que el integrando es no negativo en todas partes de la región y acotándolo por debajo. A continuación, observe que cuando $x<1$ , usted tiene $$ \ln x=\int_1^x \frac{dt}{t} = -\int_1^{1/x} \frac{du}{u} = -\ln (1/x), $$ pero $\ln(1/x)>0$ por el argumento que ya hiciste arriba...