Encontrar la distribución de una secuencia de variables aleatorias

Question

Dejemos que $X_n$ sea la secuencia de variables aleatorias que tienen sus valores de $(0, n]$ para $n > 0$ . La función distributiva acumulativa de $X_n$ es $F_{X_n}(x) = 1 - (1 - x/n)^n$ para $0 < x \leq n$ . Encuentre una distribución de $X = \lim \limits_{n \to \infty}X_n$ .

Definimos la distribución de $X$ (dicho brevemente) como $\mu_X(B) = P(X \in B)$ para cada conjunto de borregos $B$ . Definimos la FCD como $F_X(x) = P(X \leq x)$ , $x \in R$ .

Es posible que el problema deba pedir el CDF.

Básicamente, no tengo ni idea de qué hacer. Lo único que se me ha ocurrido es contar un límite de $F_{X_n}$ 's, pero no tengo ningún teorema que sugiera que es el camino correcto.

Answer 1

Tienes que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} 1-(1-\dfrac{x}{n})^{n}=1-e^{-x} , \forall x > 0$ . Esta es la función de distribución llamada exponencial. Esta es la función de distribución de X. Debido a la definición de Convergencia en la Distribución: $\displaystyle\lim_{n \to \infty} F_{X_{n}}(t) =F_{X} (t), \forall t$ un valor continuo para X.