¿Existen cuadrados mágicos asociativos de cualquier tamaño excepto $4k+2$ ?

Question

Un cuadrado mágico asociativo es un cuadrado mágico con la propiedad adicional de que los números simétricos al centro suman $n^2+1$ . Por ejemplo, el cuadrado $\pmatrix{6&9&12&7\\3&16&13&2\\15&4&1&14\\10&5&8&11}$ es un cuadrado de este tipo.

Mis preguntas :

• ¿Hay alguna prueba fácil de que los cuadrados mágicos asociativos de tamaño n no existen, si $n \equiv 2\ (mod\ 4)$ ?

• ¿Existe un cuadrado mágico asociativo de cualquier tamaño n, siempre que $n \neq 2\ (mod\ 4)$ ?

  Encontré un resumen para el número de cuadrados mágicos asociativos, pero sólo llegaba hasta hasta $n = 10$ .

• ¿Cómo se puede construir un cuadrado mágico asociativo?

Answer 1

Una prueba de que no existen cuadrados mágicos asociativos de órdenes de la forma $n = 4k+2$ atribuido a C. Planck (1919), se da en la página http://budshaw.ca/Associative.html . Es lo siguiente:

Dejemos que $S$ sea un cuadrado de este tipo, y que $m = n/2 = 2k+1$ y $\mu = m(n^2+1)$ sean el medio orden y la constante mágica, respectivamente. Obsérvese que ambos $m$ y $\mu$ son impar. Partición $S$ en cuatro subcuadros de lado $m$ y llamamos a las sumas de los elementos de los subcuadros superior izquierdo, superior derecho e inferior izquierdo $A$ , $B$ y $C$ respectivamente. Como cada fila y columna de $S$ sumas a $\mu$ tenemos $A+B = A+C = m \mu$ . Porque $S$ es asociativo, $B+C = m^2 (n^2 + 1) = m \mu$ también. De ahí que $A=B=C=m\mu/2$ no son enteros, una contradicción. Así que no existe tal cuadrado mágico.

La misma página también ofrece enlaces a páginas que describen la construcción de cuadrados mágicos asociativos de órdenes de la forma $n = 2k+1$ y $n = 4k$ .