Hay algo "bonito", sobre el conjunto de la normal de matrices ( $\Bbb R$ $\Bbb C$?)

Question

Normal matrices son de curso útil para cualquier álgebra lineal buff, al menos no por el teorema espectral. Sin embargo, tomados en conjunto, tienden a tener algunos no-tan-agradable propiedades. Por ejemplo:

• a diferencia de la central unitaria de matrices, que no está cerrado bajo la multiplicación. Es decir, $A$ $B$ normal no garantiza que $AB$ es normal
• a diferencia de la Hermitian matrices, que no forman un espacio lineal. Es decir, $A$ $B$ normal no garantiza que $A+B$ es normal

Me pregunto, entonces, si hay cualquier agradable propiedades de este conjunto, ni buenas maneras de pensar la forma en que el conjunto de la normal de matrices se encuentra dentro de $\Bbb C^{n\times n}$, o quizás $\Bbb R^{n \times n}$.

Aquí está la forma en que lo veo: el normal matrices son el cero de la cuadrática mapa $\phi:\Bbb F^{n \times n} \to \Bbb F^{n \times n}$ ($\Bbb F \in \Bbb{\{R,C\}}$) dada por $$\phi(A) = A^* - AA^*$$ El conjunto es cerrado. Es (creo) un suave colector en $\Bbb R^{n \times n}$, y está conectada en $\Bbb C^{n \times n}$.

Está también conectado en $\Bbb R^{n \times n}$? ¿Cuál es su dimensión como un colector en $\Bbb R^{n \times n}$? No sabemos nada acerca de su estructura topológica (Cohomology, por ejemplo)? ¿Hay algún problema algebraico de estructura para el "espacio" de la normal de matrices? Hay una conexión interesante para dibujar entre la central unitaria de las matrices y el Hermitian matrices que sale de este análisis (el mapa exponencial viene a la mente)?

De entrada aquí se aprecia. Gracias por leer :)

Answer 1

Permítanme resumir mis comentarios en una respuesta. Yo no tengo respuestas para todas las preguntas, pero no espero que (yo) para realmente llegar a más, así que aquí va.

En primer lugar, estoy pensando fundamentalmente acerca de este espacio como la variedad algebraica $\mathbb{R}$ (complejo de la conjugación no es $\mathbb{C}$escalares) corte por la $n^2$ ($\mathbb{R}$de los casos) o $2n^2$ ($\mathbb{C}$ cae) ecuaciones dado por $$A A^* - A^* A = 0.$$

Esta es una $\mathbb{R}$-cónica variedad en ambos casos, por lo que en particular cada punto tiene un camino recto a 0, de modo que el espacio es el camino-conectado en ambos casos.

Además, la única cónica variedades que son suaves variedades (es decir, colectores) son las que cortó por medio de ecuaciones lineales. Para ver esto, recordemos que los puntos singulares son aquellos donde el Jacobiano no tiene rango completo. Pues en la variedad está cortado por homogéneos de ecuaciones (es decir, se cónica) de los no-lineal de grado, el Jacobiano debe desaparecer en cero. Además, el cero es un punto de la variedad, por lo que es singular.

EDIT: También, porque es una cónica variedad es contráctiles, por lo que homotopy equivalente a un punto, por lo que ha topología trivial. Una pregunta más interesante sería preguntar acerca de su projectivization, aunque no tengo mucho en ese frente.

Finalmente, uno puede calcular la dimensión mediante la acción del grupo unitario en la normal de matrices, al menos en el caso de $\mathbb{C}$. El especial de grupo unitario actúa sobre el normal de las matrices de conjugación. Permítanos calcular un "grande" de la órbita, es decir, la órbita de una matriz diagonal con distintas diagonal entradas. Sólo diagonal de las matrices pueden estabilizar a este punto, y la diagonal de las matrices en el grupo unitario se isomorfo a $\mathbb{C}^*)^n$, es decir, que tiene dimensión $n$ , y así esta órbita tiene dimensión $\dim U(n) - n = n^2 - n$. Además, el espacio de parámetros de las órbitas consiste en la parametrización de las entradas de la diagonal; desde el subconjunto de este espacio de parámetros donde las entradas son distintas es un abierto Zariski locus, su dimensión es igual al espacio de parámetros, que es $2n$ (recuerde que la dimensión real). Así, el total de espacio tiene dimensión $n^2 + 2n - n = n^2 + n$. Me refiero a la dimensión de la variedad, significado, donde la variedad es suave, es localmente de esa dimensión.

Esperemos que todo lo anterior es correcto.

EDIT: Este MO publicar enlaces a un par de papeles que tiene más respuestas: la normal, la variedad es no orientable para $n \geq 2$, y es irreductible, etc.