A una categoría con límites finitos $\mathscr{C}$ se asocia la bicategoría de sus tramos $Span(\mathscr{C})$ . Además, la bicategoría de (bi)módulos (y monoides) sobre $Span(\mathscr{C})$ es la bicategoría $Prof(\mathscr{C})$ de categorías internas de $\mathscr{C}$ y los profunctores. (ver por ejemplo las primeras páginas de "Fibrations and Yoneda's lemma in a 2-category" de R.Street y las definiciones de profunctor interno en 'Topos theory' de P. Johnstone 1978).
Ahora, dado un morfismo $f: X \to Y$ en $\mathscr{C}$ y un monoide $B \rightrightarrows Y$ (lo llamamos también categoría interna en $Y$ ) el retroceso por $f$ dan un monoide $f^*B$ en $X$ Además, dado un funtor interno $(f_1, f): (A \rightrightarrows X) \to (B \rightrightarrows Y)$ corresponde de forma equivalente a un morfismo de monoides (es decir, un functor interno) $A \to f^*B$ en $X$ . Entonces la categoría de funtores internos en $\mathscr{C}$ es equivalente a una categoría fibrada $\mathscr{F}$ en $\mathscr{C}$ con fibras $\mathscr{F}(X)=$ '' categorías internas (y functores ) en $X$ ''.
De "Bicategorías de espacios y relaciones" A. Carboni, S. Kasangian (JPAA 33, 1984) la bicategoría $Span(\mathscr{C})$ y la categoría $\mathscr{C}$ están estrictamente relacionados ( parece que $\mathscr{C}$ es 2-equivalente (como categoría 2 localmente discreta) a los mapas (morfismos que son adyacentes a la derecha) de $Span(\mathscr{C})$ ).
Ahora, considerando los profunctores internos (horizontalmente) y los funtores internos (verticalmente) obtenemos un pseudo-doble categoría (para la definición, véase por ejemplo http://arxiv.org/abs/math/0604549 ). El algún si $\mathscr{C}$ tiene un objeto (es decir, es una categoría monoidal) y considera los (bi)módulos (horizontalmente) y los morfismos de los monoides (verticalmente).
1) Pregunto:
Si la construcción habitual de la bicategoría de módulos (a partir de una bicategoría $\mathscr{S}$ ) es generalizable a una construcción de una pseudo-doble-categoría de módulos como flechas horizontales, y morfismos monoides (de un tipo diferente al de los módulos) como flechas verticales, esto a partir de una bicategoría $\mathscr{S}$ y alguna fibración en alguna categoría $\mathscr{C}$ relacionado con $\mathscr{S}$ (puede ser $\mathscr{S}$ más general que una bicategoría de espacios).
Y si (posiblemente) podemos obtener teoremas de descomposición similares al de Benabou sobre la descomposición de un profunctor (ver 'Topos Theory' P. Johnstone Th.2.48 página 63.)
2) Dada una categoría monoidal $\mathbf{V}$ (simétrico, cerrado si se quiere).
Yo pregunto si:
Se conoce en la literatura matemática una construcción de una bicategoría $\mathscr{S}$ tal que su bicategoría de bimódulos $Mod(\mathscr{S})$ es (equivalente a) la bicategoría de $\mathbf{V}$ -probadores en (pequeño) $\mathbf{V}$ -¿categorías?
