$R/I \otimes_A R/I \cong (R \otimes_A R)/(I \otimes_A I)$ ?

Question

Dejemos que $f: A \to R$ sea un homomorfismo de anillos conmutativos, y sea $I$ sea un ideal de $R$ .

¿Es cierto que $R/I \otimes_A R/I \cong (R \otimes_A R)/(I \otimes_A I)$ ?

Una vez obtenida la sobreinyección $g: R \otimes_A R \to R/I \otimes_A R/I$ Tengo el problema de demostrar que el núcleo de $g$ es igual a $I \otimes_A I$ ; sólo puedo demostrar directamente que $I \otimes_A I \subseteq Kerg$ .

Se agradecerá cualquier ayuda.

Editar: En realidad, mi pregunta es un caso especial de una pregunta ya formulada y respondida: ¿Por qué $(A/I)\otimes_R (B/J)\cong(A\otimes_R B)/(I\otimes_R 1+1\otimes_R J)$ ? (esta referencia aparece en un comentario de @user26857).

Answer 1

En primer lugar, tengamos cuidado: $I\otimes_A I\to R\otimes_A R$ puede no ser inyectiva, por lo que presumiblemente $(R\otimes_A R) / (I\otimes_A I)$ se supone que es el cociente por la imagen de este mapa.

De todos modos, esto es falso incluso cuando $f$ es la identidad: entonces el lado izquierdo es isomorfo a $R/I$ mientras que el lado derecho es isomorfo a $R/I^2$ .

Answer 2

De hecho, el núcleo de $g$ es $I\otimes_AR+R\otimes_AI$ por lo que el isomorfismo correcto es $$(R\otimes_AR)/(I\otimes_AR+R\otimes_AI)\simeq R/I\otimes_AR/I.$$