Pregunta sobre la holomorfía de una serie de Dirichlet

Question

Dejemos que $\phi(s)=\sum_{n\ge 1}a_n n^{-s},$ una serie de Dirichlet. Supongamos que $\phi(s)$ es holomorfo en $s_0\in \mathbb{C}$ .

Mi pregunta es: ¿Podemos deducir que $\phi(s)$ es holomorfo en el semiplano $\Re(s)>\Re(s_0)$ ?

Gracias.

Answer 1

• Si quieres decir $\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ converge en $s = s_0$ entonces sí, mira lo que hay wikipedia : suma por partes $\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ converge para cada $Re(s) > Re(s_0)$ y es holomorfo.

• Si no, no, toma $a_n = 1$ y $s_0= 1/2$ entonces $\zeta(s) = \frac{1}{1-2^{1-s}} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}$ es holomorfo en $s_0$ pero tiene un poste en $s=1$