Probar que la función completa que satisface una propiedad dada es única

Question

Dejemos que $\phi : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ sea una función entera que satisfaga las tres propiedades siguientes:

1. $|\phi'(z)| \leq |\phi(z)|$ para todos $z \in \mathbb{C}$
2. $\phi(0) = 2$
3. $\phi(1) = 1$

El problema en el que estoy trabajando dice que hay que demostrar que (a) $\phi$ nunca desaparece, y (b) que $\phi$ está determinada de forma única por estas propiedades. He podido demostrar (a) utilizando el Principio de Argumentación, y he podido encontrar una función que satisface todas estas propiedades, a saber $\phi(z) = 2 e^{- (\ln 2) z}$ . Estoy atascado en la forma de demostrar que este es el sólo solución, y agradecería ayuda, porque estoy perdido.

Answer 1

Considere la función $f(z) = \frac{\phi'(z)}{\phi(z)}$ . $|f(z)| \leq 1$ y $f$ es entero - por lo tanto constante. Así que tenemos $\phi'(z) = a\cdot \phi(z)$ Así que $\phi(z) = b \cdot \exp(a \cdot z)$ . Y las condiciones iniciales son suficientes para encontrar $a$ y $b$ .