Pendiente de los ejes de una sección cónica general

Question

Una sección cónica general viene dada por la ecuación $ax^2 + by^2 + 2hxy +2gx +2fy + c =0 $ . Deje que el $\theta$ sea la pendiente de uno de sus ejes.

Demostrar que :

$$\tan 2\theta = \dfrac{2h}{a-b}$$

He intentado utilizar la definición de la sección cónica tomando casos para varias cónicas como la parábola, el par de rectas, la elipse, la hipérbola, etc., pero se ha vuelto demasiado tedioso de calcular. ¿Existen algunas propiedades con las que se pueda simplificar esta cuestión?

Se agradecerá cualquier ayuda.
Gracias.

Answer 1

Si se desplaza el origen para eliminar los términos lineales la ecuación se convierte en $$ rMr^T = C $$ donde $r$ es el vector 2 $(x,y)$ y $M$ es la matriz

$$M = \begin{pmatrix} a & h \\ h & b \end{pmatrix} $$ y $C$ es una constante.

Si los ejes se giran en un ángulo $\theta$ la matriz está diagonalizada cuando los términos no diagonales en $$ \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & h \\ h & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$ son cero. Para la entrada superior derecha este requisito se traduce en: $$ (a\cos \theta+h\sin \theta)(-\sin \theta)+(-h \sin \theta+b\cos \theta)\cos \theta = 0 $$ es decir $$ h(\cos^2\theta -\sin^2 \theta)= (a-b)\sin\theta\cos\theta $$ de lo que se desprende el resultado indicado

Answer 2

Si giramos los ejes por $\theta$ a nuevos ejes $x',y'$ tenemos $x=x'\cos\theta-y'\sin\theta,y=x'\sin\theta+y'\cos\theta$ . Por lo tanto, el coeficiente de $x'y'$ se convierte en $-2a\cos\theta\sin\theta$ (de la $ax^2$ plazo) más $2b\cos\theta\sin\theta$ (de la $by^2$ plazo) más $2h(\cos^2\theta-\sin^2\theta)$ (de la $2hxy$ término).

Así que el $x'y'$ tiene un coeficiente cero si $(a-b)\sin2\theta=2h\cos2\theta$ o $\tan2\theta=\frac{2h}{a-b}$ .

Pero cero $xy$ es precisamente la condición para que los ejes de la cónica se alineen con los ejes de coordenadas. Por tanto, la pendiente de uno de sus ejes (en el original $xy$ sistema de coordenadas) es $\theta$ donde $\tan2\theta=\frac{2h}{a-b}$ .