Endomorfismos de módulos A simples donde A es un álgebra compleja

Question

Supongamos que $\underset{=}{\phi} \in End_A S$ es un isomorfismo y $S$ es una simple (¿dimensión finita?) $A$ -módulo y $A$ es un simple $\mathbb C$ -Álgebra. Entonces... debemos tener $\underset{=}{\phi}=\lambda\underset{=}{I}$ ? (Se trata de un corolario del lema de Schur y un lema importante para demostrar el teorema de Wedderburn )

Hasta aquí he llegado;

$\underset{=}{\phi}$ es un $A$ -módulo-homorfismo entre simples $A$ -y por lo tanto $\underset{=}{O}$ o un isomorfismo por el lema de Schur.

...(cosas)

$\mathbb C$ es un campo de división y por lo tanto $\exists\lambda\in\mathbb C$ $m_\underset{=}{\phi}(\lambda)=0$ (¿La dimensión finita de S entra aquí?)

Dejemos que $T:=\{\underline{v}\in S:\underset{=}{\phi}\underline{v}=\lambda\underline{v}\}$ . Vacuamente, $\underline{0}\in T$ así que $T\neq\varnothing$ .

Si $\underline{t}_1,\underline{t}_2 \in T$ y $\underset{=}{a}\in A$ entonces $\underset{=}{\phi}(\underline{t}_1+\underline{t}_2)=\underset{=}{\phi}\underline{t}_1+\underset{=}{\phi}\underline{t}_2=\lambda\underline{t}_1+\lambda\underline{t}_2=\lambda(\underline{t}_1+\underline{t}_2)$ y así $\underline{t}_1+\underline{t}_2\in T$ y $\underset{=}{\phi}(\underset{=}{a}\underline{t}_1)=\underset{=}{a}\underset{=}{\phi}(\underline{t}_1)=\underset{=}{a}\lambda\underline{t}_1=\lambda\underset{=}{a}\underline{t}_1$ y así $\underset{=}{a}\underline{t}_1\in T$

Así que $T$ es un submódulo de $S$ y por lo tanto $T\in\{ S,\{ \underline{0} \} \}$

$m_\underset{=}{\phi}(\lambda)=0$ Así que $\lambda$ es un valor propio de $\underset{=}{\phi}$ y por lo tanto $\exists \underline{v} \in S \setminus \{ \underline{0} \}$ $\underset{=}{\phi}\underline{v}=\lambda\underline{v} $ así que $T$ no es trivial por lo que $T=S$ y por lo tanto $\underset{=}{\phi}=\lambda\underset{=}{I}$ .

Pero esto nos da un problema obvio: ¡no hemos utilizado el Lemma de Schur en ningún sitio! Sin embargo, hemos demostrado inadvertidamente un ejemplo específico del lema de Schur para $\mathbb C$ -algebraica. Además, parece que hemos demostrado la afirmación de que "Si $A$ es una (¿dimensión finita?) $\mathbb C$ -y el álgebra $S$ un simple (¿finito-dimesional?) $A$ -módulo entonces $End_A S = \{ \lambda \underset{=}{I} : \lambda \in \mathbb C \}$ ", lo que seguramente no puede ser correcto.

Answer 1

Sí, esto demuestra un caso especial del lema de Schur, y sí, necesitas que $S$ es de dimensión finita o bien los endomorfismos no necesitan tener vectores propios (pero ninguna hipótesis sobre $A$ es necesario aparte de que es un $\mathbb{C}$ -álgebra). Esta es la prueba estándar que utiliza el lema de Schur: sea $\lambda$ sea un valor propio de $\phi$ . Entonces $\phi - \lambda I$ es cero o un isomorfismo por el lema de Schur. Tiene un espacio nulo no trivial, por lo que no puede ser un isomorfismo, así que es cero.

Tenga en cuenta que hay más de un resultado que se llama lema de Schur, aunque todos están relacionados. Por la forma general del lema de Schur, el anillo de endomorfismo de un módulo simple es siempre un anillo de división (sin hipótesis adicionales). Si $k$ es un campo algebraicamente cerrado, entonces el único anillo de división de dimensión finita sobre $k$ es $k$ (ejercicio), y esto da la forma anterior del lema de Schur.

lo que seguramente no puede ser correcto.

¿Por qué?