Ecuación del plano con el vector cero como normal

Question

Me pregunto cuál es la ecuación de un plano con el vector cero como normal. ¿Son todos los planos: Ax+By+Cz=D? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

En la geometría vectorial ordinaria, el conjunto de elementos normales al vector cero no determina un plano: todos los vectores son normales a $(0,0,0)$ por lo que el conjunto de vectores "normales/ortogonales" a cero es todo el espacio.

Un (hiper)plano tiene dimensión uno menos que el espacio entero, y se necesita un vector no nulo para determinar un (hiper)plano utilizando el producto punto ordinario en $\mathbb R^n$ (que es donde supongo que estás trabajando).

Answer 2

En la geometría afín, utilizando las coordenadas homogéneas $x=x_1/x_0, \; y=x_2/x_0, \; z=x_3/x_0$ , un avión $Ax+By+Cz=D$ se escribe como $Ax_1 +Bx_2+ Cx_3-Dx_0=0$ .

Poner $0=A=B=C$ se obtiene $-Dx_0=0 \; \to x_0=0$ y ese es el plano en el "infinito".