Me he encontrado con un caso de una matriz simétrica de 3x3 donde 2 de los vectores propios correspondientes a 2 valores propios diferentes son iguales.
Para encontrar una base ortogonal/ortonormal para el eigespacio todos los vectores de esta base deben ser mutuamente ortogonales. Sin embargo, la ejecución de Gram Schmidt en 2 vectores iguales devuelve cero, lo que tiene mucho sentido porque los vectores son linealmente dependientes entre sí, es decir, son idénticos, en otras palabras, no existe una componente ortogonal de un vector a sí mismo.
También sabemos que la base debe estar formada por 3 vectores, si lo he entendido bien. Entonces la pregunta es cómo se puede encontrar un vector que sea mutuamente ortogonal a los otros 2, pero que siga siendo un eigenvector "válido", ¿escogeríamos cualquier vector que sea mutuamente ortogonal a los otros 2 vectores? Si es así, ¿cómo se puede hacer eso fácilmente?
ACTUALIZACIÓN
Conclusión/corrección : los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios deben ser diferentes (suponiendo que no se trate de 0).
Un escenario diferente en el que $x_1=x_2$ y $_1=_2$ :
Sin embargo, supongamos que la base del espacio eigénico debe seguir estando formada por 3 vectores mutuamente ortogonales, ¿no es así? Entonces, en ese caso, ¿cómo se procedería para encontrar el segundo elemento base para el eigespacio? Si son iguales no pueden ser mutuamente ortogonales, pero si son mutuamente ortogonales en este caso ¿no corresponderían a diferentes valores propios? Si no recuerdo mal obtendríamos 2 variables libres, por tanto 2 vectores propios para el valor propio repetido (dos veces) como resultado del mismo RREF. En caso de que estos no sean ortogonales utilizaríamos GS en uno de ellos.
