Actualmente estoy estudiando el libro de texto Modelización y análisis de sistemas estocásticos , tercera edición, por Kulkarni. Capítulo 5.1 Distribuciones exponenciales dice lo siguiente:
La función de densidad de probabilidad (pdf) $f_X$ de un $\exp(\lambda)$ La variable aleatoria se denomina densidad exponencial y viene dada por
$$f_X(x) = \dfrac{d}{dx}F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{if}\, x\leq 0\\ \lambda e^{-\lambda x} & \text{if} \, x \ge 0 \end{cases}$$
La función de densidad se representa en la figura 5.2. La transformada de Laplace Stieltjes (LST) de $X \sim \exp(\lambda)$ viene dada por $$\begin{align}\tilde{F}_X(s) &= E\left( e^{-sX} \right) \\&= \int_0^\infty e^{-sx} f_X(x) \ dx \\&= \dfrac{\lambda}{\lambda + s} \,, \ \text{Re}(s) > - \lambda, \tag{5.2}\end{align}$$ donde el $\text{Re}(s)$ denota la parte real del número complejo $s$ .
Yo mismo estoy intentando calcular el 5,2. Obtengo
$$\begin{align} \int_0^\infty e^{-sx} \left( \lambda e^{-\lambda x} \right) \, dx = \lambda \int_0^\infty e^{-x(s + \lambda)} \, dx \end{align},$$
pero no estoy seguro de cómo proceder. Sustitución con $-x(s + \lambda)$ no parece funcionar aquí (o, al menos, no lo estoy haciendo correctamente).
¿Cómo se calcula exactamente el 5,2?
