Caracterizar el conjunto de funciones de masa de probabilidad simétricas

Question

Consideremos la función de distribución acumulativa escalonada $$ \Delta(x; \lambda, \mu)=\sum_{j=1}^J \lambda_j 1\{x\geq \mu_j\} \hspace{1cm} \forall x \in \mathbb{R} $$ donde

• $J<\infty$

• $\lambda\equiv (\lambda_1,...,\lambda_J)$

• $\mu\equiv (\mu_1,...,\mu_J)$

• $\mu_1<...<\mu_J$ , $\mu_j\in \mathbb{R}$ $\forall j$

• $\lambda_j\in [0,1]^J$ y $\sum_{j=1}^J \lambda_j=1$

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Dejemos que $P(\cdot; \lambda,\mu)$ denotan la función de masa de probabilidad asociada a la FCD $\Delta(\cdot; \lambda,\mu)$ .

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Considere el conjunto $$ \Omega_J\equiv \{(\lambda, \mu): P(\cdot; \lambda,\mu) \text{ is symmetric}\} $$

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Pregunta es posible caracterizar explícitamente el conjunto $\Omega_J$ a través de las condiciones de $(\lambda, \mu)$ para cualquier genérico $J$ ?

Por ejemplo, $$ \Omega_2=\Big\{(\lambda,\mu): \lambda_1=1\text{ and }\lambda_2=0\text{, or }\lambda_1=0\text{ and }\lambda_2=1\text{, or } \lambda_1=1/2\text{ and }\lambda_2=1/2\Big\} $$

$$ \Omega_3=\Big\{(\lambda,\mu): \lambda_1=\lambda_3 \text{ and } \mu_2-\mu_1=\mu_3-\mu_2\text{, or } \lambda_j=0 \text{ for some $ j\Nen \N1,2,3\Nde la misma. $} \Big\} $$ Me cuesta generalizar estas caracterizaciones a cualquier $J$ . ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Estas son las condiciones requeridas: Las funciones de masa simétricas (sobre un soporte finito) pueden caracterizarse por la simetría de los valores de soporte en torno a una media/mediana y la igualdad de los valores de probabilidad reflejados en torno a esa media/mediana. Así, para tener una función de masa simétrica el vector $\boldsymbol{\mu}$ debe cumplir el requisito: $^\dagger$

$$\mu_k - \mu_{k'} = \mu_{J-k'+1} - \mu_{J-k+1} \quad \quad \quad \text{for all } k,k' = 1,...,J,$$

y el vector $\boldsymbol{\lambda}$ debe cumplir el requisito:

$$\lambda_k = \lambda_{J-k+1} \quad \quad \quad \text{for all } k = 1,...,J.$$

Estas dos condiciones agotan todas las funciones de masa simétricas con un número finito de resultados $J$ . La media/mediana de la función de masa resultante es:

$$\mathbb{E}(X) = \text{Median}(X) = \frac{\mu_k + \mu_{J-k+1}}{2} \quad \quad \quad \text{for all } k = 1,...,J.$$

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$^\dagger$ Esta primera condición puede escribirse alternativamente como

$$(\exists \mu_* \in \mathbb{R}) (\forall k = 1,...,J): \quad \mu_k + \mu_{J-k'+1} = 2 \mu_*.$$

En este enunciado alternativo de la condición utilizamos el valor $\mu_* = \mathbb{E}(X) = \text{Median}(X)$ por lo que la condición invoca explícitamente una condición de existencia sobre la media/mediana.