¿por qué es constante?

Question

$f$ es una función de $\Bbb R$ a $\Bbb R$ : $\frac{f(x+y)}{(x+y)} - (x+y)^2 = \frac{f(x-y)}{(x-y)} - (x-y)^2$ para todos $x$ y $y$

el libro de soluciones sólo dice "Así $\frac{f(x)}{x} - x^2$ es una constante"

¿Cómo han llegado a esa conclusión?

Answer 1

Sugerencia: Para cualquier $u,v$ puedes escribir $u=x+y$ y $v=x-y$ . ¿Por qué?

Answer 2

Si $x=\frac {w+z}2$ y $y=\frac {w-z}2$ tenemos $x+y=w$ y $x-y=z$ y la ecuación funcional se convierte en

$$\frac {f(w)}w-w^2=\frac {f(z)}z-z^2$$ Pero $w$ y $z$ eran cualquier número (distinto de cero) que eligiéramos, por lo que la expresión debe ser constante (aparte del caso de cero).