$\Sigma _{n>1} \dfrac{n^{\ln{n}}}{(\ln{n})^n}$ ¿es convergente o divergente?

Question

Suponiendo la secuencia $u_n = \dfrac{n^{\ln{n}}}{(\ln{n})^n}$ es la serie $\displaystyle \Sigma_{n>1}{u_n}$ ¿convergente o divergente?

He intentado utilizar el teorema de Alembert, pero en vano.

Answer 1

Sugiero utilizar la prueba de la raíz, también conocida como prueba de Cauchy. El $n$ -La raíz de la parte inferior es $\ln n$ . El $n$ -La raíz de la parte superior es $e^{(\ln n)^2/n}$ . De esto debería poder concluir que el $n$ -en la raíz de todo el asunto se acerca $0$ como $n\to\infty$ .