Velocidad de rotación del agua en un cubo giratorio

Question

Intento resolver la forma de la superficie libre de un fluido incompresible y perfecto en una cubeta que gira con velocidad angular (uniforme) $\Omega$ . Sé que la solución es un paraboloide, y sé cómo obtenerla suponiendo el perfil de velocidad $\mathbf{v}=v_{\phi}(r)\hat{\phi}$ donde $v_{\phi}(r)=\Omega r$ .

Me pregunto cómo derivar este perfil de velocidad. Debería salir de las ecuaciones, creo. Utilizaría las simetrías para determinar que $\mathbf{v}=v_{\phi}(r)\hat{\phi}$ y $P=P(r,z)$ . Luego está la ecuación de continuidad y la ecuación de Euler para un fluido en rotación y en estado estacionario

$$ \nabla \cdot \mathbf{v}=0$$ $$ \mathbf{\Omega}\times\mathbf{v}+(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}=-\frac{1}{\rho}\nabla P + \mathbf{g}.$$

Encuentro que la ecuación de continuidad y la $\phi$ de la ecuación de Euler no dan ninguna información adicional. La página web $r$ de la ecuación de Euler da $$ \Omega v_{\phi}(r) = \frac{1}{\rho}\frac{\partial P(r,z)}{\partial r} $$ y el $z$ da el componente $$ \frac{\partial P(r,z)}{\partial z} = -\rho g. $$

Evidentemente, teniendo en cuenta $v_{\phi}(r)$ Puedo resolver estas ecuaciones. Pero, también está claro que no puedo encontrar $v_{\phi}(r)$ de estas ecuaciones. ¿Hay alguna forma de obtener el perfil de velocidad del fluido?

Answer 1

Me pregunto cómo derivar este perfil de velocidad.

El problema lleva implícito que el estado del fluido es uno de rotación de cuerpos sólidos .

Parece que el problema se le presentó de tal forma que no se mencionó el estado de rotación del cuerpo sólido.

Si un fluido no está en rotación de cuerpo sólido, entonces hay fricción, y el fluido está disipando energía. El estado de rotación del cuerpo sólido es el estado que se alcanza cuando ya no hay oportunidad de disipar energía. Cuando todas las partes del fluido tienen una velocidad nula entre sí, ya no hay posibilidad de fricción y, por tanto, ya no hay posibilidad de disipar energía.

La rotación de cuerpos sólidos es una forma de equilibrio estático en el sentido de que el estado de rotación del cuerpo sólido es un estado con cero conversión de energía. El estado de rotación de los cuerpos sólidos es tan sencillo que no se puede derivar; es sencillísimo.

Answer 2

No creo que las ecuaciones de Euler sean de mucha utilidad aquí. En caso de duda, siempre vuelvo a las ecuaciones de Navier-Stokes. En este caso, utilizaría directamente la formulación cilíndrica.

El $z$ la dimensión no juega un papel, por lo que puedo decir $v_z=0$ y $\frac{\partial}{\partial z}=0$ . Además, desde la simetría rotacional también se sabe que no hay $\phi$ -dependencia en el problema. Debido a las suposiciones anteriores también podemos decir que $v_r=0$ . Otra solución violaría las ecuaciones de continuidad (esta es también su suposición).

A continuación, podemos observar la componente acimutal de las ecuaciones de Navier-Stokes. Muchos de los términos desaparecen (se deja como ejercicio para el lector), y terminamos con

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du_\phi}{dr}\right)-\frac{u_\phi}{r^2}=0$$

Puedes utilizar tus cursos de ecuaciones diferenciales para resolver esta ecuación para $u_\phi$ . Me he saltado este paso y he comprobado que $u_\phi=cr$ resuelve esta ecuación y, por tanto, es la solución. Evidentemente, $c$ se desprende de la condición de contorno.

Answer 3

He descubierto la respuesta a mi propia pregunta. Lo más fácil es entrar en el marco no inercial del cubo en rotación. En ese caso, el fluido es estático, $\mathbf{v}=0$ . La ecuación de Euler en el marco de rotación $$ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}+2\Omega\times\mathbf{v}+\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{r})=-\frac{1}{\rho}\nabla P + \mathbf{g} $$ se convierte en $$ \mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{r})=-\frac{1}{\rho}\nabla P + \mathbf{g} $$ .

Debido a la simetría rotacional, la presión es $P=P(r,z)$ . A partir de aquí, la ecuación de Euler ( $r$ y $z$ componentes) te dan la presión y te permiten determinar la forma parabólica de la superficie del fluido.

Entonces, para obtener la velocidad del fluido en el marco del laboratorio, se puede utilizar la relación $$\mathbf{v}_{lab} = \mathbf{v}_{rotating}+\mathbf{\Omega}\times\mathbf{r}$$ donde $\mathbf{r}=r\hat{r}+z\hat{z}$ , para conseguir que la velocidad del fluido en el laboratorio sea $\mathbf{v}_{lab} = \Omega r \hat{\phi}$ .

Al transformar la velocidad del fluido en el marco del cubo giratorio al marco del laboratorio, puede que haya asumido un movimiento de cuerpo rígido para el fluido, tal y como comenta "Cleonis" en su respuesta, no lo sé.