Si $a$ , $b$ y $c$ son números reales distintos tales que las expresiones cuadráticas $$Q_1 (x) = ax^2 + bx +c\,,$$ $$Q_2 (x) = bx^2 + cx +a\,,$$ y $$Q_3 (x) = cx^2 + ax +b$$ son siempre no negativos. Entonces encuentra el número de posibles enteros en el rango de la expresión $$y = \frac{ a^2 + b^2 + c^2 }{ ab + bc +ca }\,.$$
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En primer lugar, observemos que $a$ $b$ y $c$ deben ser todos positivos. No pueden ser negativas, ya que cualquier parábola con un término cuadrático negativo debe ser negativa en alguna parte. Tampoco pueden ser cero, ya que si $a=0$ , $b$ también debe ser cero o de lo contrario $Q_1$ será negativo para algunos valores de $x$ y luego $c$ debe ser cero también por una razón similar. Pero eso haría que la expresión para $y$ indeterminado.
Dado que el problema es simétrico con respecto a $a$ , $b$ y $c$ podemos establecer $a \ge b \ge c$ . Además, como $a$ , $b$ y $c$ pueden ser todos multiplicados por la misma constante positiva, fijemos $c = 1$ .
Como demostró @Aqua, el requisito de no negatividad de $Q_3$ es $a^2\le4b$
$$a\le2\sqrt b$$ $$a-b\le2\sqrt b - b = 1-(1-2\sqrt b+b)= 1-(\sqrt b -1)^2$$ Por lo tanto, $$a-b \le 1$$
Ahora vamos a determinar el signo de $y-2$
$$y-2 = \frac{a^2 + b^2 + 1}{a + b + ab}-2$$
Sólo nos importa el numerador:
$$ a^2 + b^2 + 1-2ab-2a-2b = (a-b)^2 + 1 - 2(a+b) $$ Pero, como $0 \le a-b \le1$ y $a+b \ge 2$ se deduce que $y-2<0$ o
$$y<2$$
Por lo tanto, el único candidato para los enteros $y$ es $1$
Sin embargo, $$\frac{a^2 + b^2 + 1}{a + b + ab} = 1$$ Simplifica a $$(a-b)^2 +(a-1)(b-1) = 0$$ que sólo puede ser satisfecha por $a=b=1$
Desde $a$ , $b$ y $c$ deben ser distintos, no hay valores enteros posibles de $y$ . Sin embargo, si se suprimiera este requisito, sería posible obtener $y=1$
