Esta es una pregunta de baja prioridad, pero me ha estado molestando así que pensé en preguntar. En mis deberes de estadística tengo el siguiente ejercicio:
Ejercicio. Supongamos que $X_1$ y $X_2$ son observaciones iid del pdf $f(x\mid\alpha)=\alpha x^{\alpha-1}e^{-x^\alpha}$ , $x>0$ , $\alpha>0$ . Demostrar que $(\log X_1)/(\log X_2)$ es una estadística auxiliar.
Esto es fácil de hacer demostrando que si $X\sim X_i$ entonces $(\log X)$ es una familia de escalas y luego aplicar el Teorema que dice que si $U$ es una familia de escalas y $U_1,\cdots,U_n$ son observaciones iid de $U$ entonces cada $U_i/U_j$ , $i\neq j$ es auxiliar. Sin embargo, intenté un método diferente que me llevó a un curioso problema. Observe.
Dejemos que $U=\frac{\log X_1}{\log X_2}$ y $V=\log X_2$ , entonces considere la transformación $(X_1,X_2)\mapsto(U,V)$ . Entonces $x_1=e^{uv}$ y $x_2=e^v$ , lo que nos da el jacobiano
\begin{equation*}J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x_1}{\partial u}&\frac{\partial x_1}{\partial v}\\\\\frac{\partial x_2}{\partial u}&\frac{\partial x_2}{\partial v}\end{array}\right|=e^{(u+1)v}.\end{equation*}
Así, por la independencia de $X_1$ y $X_2$ tenemos
\begin{multline*}f_{U,V}(u,v)=f_{X_1,X_2}(e^{uv},e^v)|J|\\\\=[\alpha (e^{uv})^{\alpha-1}e^{-(e^{uv})^\alpha}][\alpha (e^v)^{\alpha-1}e^{-(e^v)^\alpha}]e^{(u+1)v}\\\\=\alpha^2\exp[{(u+1)v\alpha}-e^{uv\alpha}-e^{v\alpha}].\end{multline*}
Por lo tanto, al cambiar las variables $z=v\alpha$ obtenemos $dv=dz/\alpha$ y luego
\begin{multline*}f_U(u)=\int_{-\infty}^\infty\alpha^2\exp[{(u+1)v\alpha}-e^{uv\alpha}-e^{v\alpha}]\;dv\\\\=\alpha\int_{-\infty}^\infty\exp[{(u+1)z}-e^{uz}-e^z]\;dz=:\alpha g(u),\end{multline*}
donde $g(u)$ es independiente de $\alpha$ . Sin embargo, ¡esto es imposible!
Esto me lleva a mi pregunta: ¿Dónde está mi error?
