ayuda para encontrar mi error en un cálculo de transformación estadística

Question

Esta es una pregunta de baja prioridad, pero me ha estado molestando así que pensé en preguntar. En mis deberes de estadística tengo el siguiente ejercicio:

Ejercicio. Supongamos que $X_1$ y $X_2$ son observaciones iid del pdf $f(x\mid\alpha)=\alpha x^{\alpha-1}e^{-x^\alpha}$ , $x>0$ , $\alpha>0$ . Demostrar que $(\log X_1)/(\log X_2)$ es una estadística auxiliar.

Esto es fácil de hacer demostrando que si $X\sim X_i$ entonces $(\log X)$ es una familia de escalas y luego aplicar el Teorema que dice que si $U$ es una familia de escalas y $U_1,\cdots,U_n$ son observaciones iid de $U$ entonces cada $U_i/U_j$ , $i\neq j$ es auxiliar. Sin embargo, intenté un método diferente que me llevó a un curioso problema. Observe.

Dejemos que $U=\frac{\log X_1}{\log X_2}$ y $V=\log X_2$ , entonces considere la transformación $(X_1,X_2)\mapsto(U,V)$ . Entonces $x_1=e^{uv}$ y $x_2=e^v$ , lo que nos da el jacobiano

$$\begin{equation*}J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x_1}{\partial u}&\frac{\partial x_1}{\partial v}\\\\\frac{\partial x_2}{\partial u}&\frac{\partial x_2}{\partial v}\end{array}\right|=e^{(u+1)v}.\end{equation*}$$

Así, por la independencia de $X_1$ y $X_2$ tenemos

$$\begin{multline*}f_{U,V}(u,v)=f_{X_1,X_2}(e^{uv},e^v)|J|\\\\=[\alpha (e^{uv})^{\alpha-1}e^{-(e^{uv})^\alpha}][\alpha (e^v)^{\alpha-1}e^{-(e^v)^\alpha}]e^{(u+1)v}\\\\=\alpha^2\exp[{(u+1)v\alpha}-e^{uv\alpha}-e^{v\alpha}].\end{multline*}$$

Por lo tanto, al cambiar las variables $z=v\alpha$ obtenemos $dv=dz/\alpha$ y luego

$$\begin{multline*}f_U(u)=\int_{-\infty}^\infty\alpha^2\exp[{(u+1)v\alpha}-e^{uv\alpha}-e^{v\alpha}]\;dv\\\\=\alpha\int_{-\infty}^\infty\exp[{(u+1)z}-e^{uz}-e^z]\;dz=:\alpha g(u),\end{multline*}$$

donde $g(u)$ es independiente de $\alpha$ . Sin embargo, ¡esto es imposible!

Esto me lleva a mi pregunta: ¿Dónde está mi error?

Answer 1

El error está en el cálculo del jacobiano que es igual a $J=v \exp\left((u+1) v\right)$ $$\begin{equation*}J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x_1}{\partial u}&\frac{\partial x_1}{\partial v}\\\\\frac{\partial x_2}{\partial u}&\frac{\partial x_2}{\partial v}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc} v \exp(u v) & u \exp(u v)\\\\0&\exp(v)\end{array}\right| =v e^{(u+1)v}.\end{equation*}$$