$\mathbb R^3$ no es un campo de

Question

Estoy tratando de demostrar que $\mathbb R^3$, no es un campo con el componente de sabios de la multiplicación y la suma definida. Creo que es raro, porque todas las propiedades de un campo se heredan de $\mathbb R$. Alguien puede ayudar?

Gracias

Answer 1

Estoy asumiendo que usted defina muliplication componente-sabio en $\mathbb{R}^3$, es decir, definir $(x_1,x_2,x_3)\cdot(y_1,y_2,y_3) = (x_1y_1,x_2y_2,x_3y_3)$.

El campo axioma que causa problemas es $\forall x \:((x=0) \lor \exists y\: (xy = 1))$, es decir, la existencia de inversos multiplicativos. Para mostrar que $\mathbb{R}^3$ no es un campo, tratar de encontrar el inverso multiplicativo de a $x = (1,1,0)$ (tenga en cuenta que $x \neq 0$!)...

El axioma sobre los inversos multiplicativos es, por cierto, el único axioma que puede causar problemas. Se puede demostrar que cuando se tiene una estructura definida puramente por medio de ecuaciones, es decir, por los axiomas de la forma $\forall x_1 \ldots \forall x_2 t_1(x_1,\ldots,x_n) = t_2(x_1,\ldots,x_n)$ para algunos de los términos $t_1$, $t_2$ en $x_1,\ldots,x_n$, entonces el conjunto de la teoría de producto arbitrario de muchos de esos estructura junto con el componente sabio definición de todas las funciones obedecen a los mismos axiomas. Por lo tanto, el producto de los grupos es un grupo, el producto de los anillos es un anillo, ...

Para los campos de este se rompe debido a la condición de $x \neq 0$ en el axioma sobre los inversos multiplicativos impide que el axioma de ser escrita como una ecuación. Pero este axioma es el único axioma que no puede ser escrita como una ecuación, y desde este axioma es lo que convierte un anillo en un campo, se obtiene que el producto de forma arbitraria muchos campos es un anillo.

Answer 2

Es fácil ver que hay divisores de cero: $(1,0,0)\cdot (0,1,0)=(0,0,0)$, por ejemplo.

Así que, naturalmente, no puede ser un campo... ni siquiera es la integral de dominio!

Answer 3

Supongamos que queremos poner un campo de la estructura de la $\mathbb{R}$-espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Supongamos $K$ es isomorfo a $\mathbb{R}^3$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial y es un campo. A continuación, $K$ contiene una copia de $\mathbb{R}$ como un subcampo. Por lo tanto, $\mathbb{R}^3$ es una extensión algebraica de $\mathbb{R}$ grado $3$. Pero todas las extensiones algebraicas de $\mathbb{R}$ son o grado $1$ o $2$ porque todos algebraicas campo extensiones de $\mathbb{R}$ puede ser embebido en $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ tiene dimensión $2$ $\mathbb{R}$ espacio vectorial. Por lo tanto, $\mathbb{R}^3$ no se pueden equipar con un campo de la estructura.

En esta respuesta he asumido que usted está visualizando $\mathbb{R}^3$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial. Si sólo desea ver como un grupo abelian, a continuación, este argumento no funciona (no creo).

Answer 4

Hay dos "canónica" de los productos en $\mathbb{R}^3$, la cruz de producto y de componente de sabios de la multiplicación. Para esto último es muy fácil de demostrar, que no es un campo, ya que $$\left(\begin{array}1 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \neq \left(\begin{array}1 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),$$ pero obviamente no inverso de un elemento.

Por la ex no se puede encontrar un 1, ya que el producto cruzado es siempre ortogonal tanto a su derecha y a la izquierda.