Si $G$ es abeliano, tiene un subgrupo en cada orden de $|G|'s$ ¿divisores?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo abeliano, he leído en alguna parte que se puede derivar del teorema de Lagrange que tiene un número de subgrupos que es igual al número de $G$ de los divisores.

¿Por qué se mantiene? Estoy confundido...

Answer 1

Sí, el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos lo trivializa. También lo demostramos sin este teorema utilizando la inducción fuerte. El caso base cuando el orden es $n$ y $n=1$ es trivial.

Paso inductivo: Dejemos que $|G|=n$ y $d|n$ tenemos que demostrar que existe un subgrupo de orden $d$ . Si $d=1$ hemos terminado. Si no, dejemos $p$ sea un primo que divide a $d$ . Por el teorema de Cauchy existe un subgrupo $P$ de $G$ de orden $p$ porque $G$ es abeliano $P$ es normal. Por lo tanto, podemos considerar el homomorfismo $\varphi:G\rightarrow \frac{G}{P}$ . El grupo $\frac{G}{P}$ tiene orden $\frac{n}{p}$ Por la hipótesis inductiva existe un subgrupo de $\frac{G}{P}$ de orden $\frac{d}{p}$ .

Aplicar el primer teorema de isomorfismo:

$\frac{\varphi^{-1}(C)}{P}\cong C$ . Esto nos dice $|\varphi^{-1}(C)|=|P||\frac{G}{P}|=p\frac{d}{p}=d$ . Así que $\varphi^{-1}(C)$ es el grupo que estábamos buscando.

Answer 2

Quizás lo que quiere decir es que si $G$ es un grupo abeliano finito de orden $n$ entonces $G$ tiene al menos un subgrupo de orden $d$ para todo divisor $d\ge 1$ de $n$ . Esta afirmación se deduce fácilmente del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Nótese que no se afirma que exista un subgrupo único de cada divisor. De hecho, un grupo finito $G$ es cíclico si, y sólo si, tiene como máximo un subgrupo de cada divisor posible. En cualquier caso, el teorema general no indica cuántos subgrupos de un orden determinado hay. Sólo que hay al menos uno de cada divisor posible.

Obviamente, hay precisamente un subgrupo de orden $1$ y precisamente un subgrupo de orden $n$ . Cada uno de los grupos cíclicos $\mathbb Z_n$ tiene precisamente un subgrupo de cada orden posible. El grupo de Klein $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ tiene tres subgrupos de orden $2$ .