¿Comprensión ilimitada con fórmulas no circulares?

Question

Definir un fórmula no circular para ser una fórmula $\varphi$ en el que podemos asignar un nivel $|x| \in \mathbb{N}$ a cada variable $x$ en $\varphi$ (ya sea libre o vinculado) tal que siempre que $\varphi$ contiene $x \in y$ , $|x| < |y|$ .

Entonces, para cualquier fórmula no circular $\varphi(x)$ con una variable libre $x$ añadimos un axioma de comprensión no circular que dice que $\{x : \varphi(x)\}$ existe.

¿Es coherente la comprensión ZFC + la comprensión no circular no restringida?

Answer 1

Esto se acerca bastante a la teoría de Quine Nuevas Fundaciones (NF) y sus parientes.

La NF se compone de comprensión estratificada (el término estándar para lo que usted llama "comprensión no circular no restringida") y la extensionalidad. Muchos principios básicos (por ejemplo, la Unión y el Emparejamiento) se pueden derivar de ellos. En particular, si eliminamos Choice, Separation, Replacement y Foundation de ZF y añadimos la comprensión estratificada, obtenemos NF.

Sin embargo, hay una cuestión sorprendentemente profunda aquí: NF refuta el axioma de la elección . Así que es crucial que nos libremos también de la elección.

Para empeorar las cosas, actualmente se desconoce si la NF es consistente (incluso bajo supuestos teóricos de conjuntos bastante fuertes ); una supuesta prueba de consistencia ha sido impartido por Randall Holmes y varias variaciones (al menos en la presentación), pero por lo que sé aún no ha sido aceptada universalmente. Mientras tanto, se sabe que NFU, obtenido al eliminar la Extensionalidad de NF, es consistente, al igual que muchas de sus variantes (incluyendo NFU+AC).

Answer 2

Desde el Emparejamiento axioma de ZF, sabemos que para todo conjunto $x$ existe un conjunto $y:=\{x\}(:=\{x,x\})$ tal que $x\in y$ . Por lo tanto, $$ a:=\{\,x_{\color{red}1}\mid \exists y_{\color{red}2}\colon x_{\color{red}1}\in y_{\color{red}2}\,\}$$ es un conjunto en su teoría y es el conjunto de todos los conjuntos. Por consiguiente, $a\in a$ lo que contradice el Axioma de Fundación en ZF. Más concretamente, Foundation afirma que $b:=\{a\}$ contiene un elemento disjunto de $b$ - pero el único elemento posible es $a$ y que tiene $a$ como elemento común con $b$ .

Así que su teoría es inconsistente.