Invertir la integral $f(x)=\int_x^a \frac{g(t)}{\sqrt{t-x}}dt$

Question

Tengo curiosidad por saber si hay una forma de invertir la integral $$f(x)=\int_x^a \frac{g(t)}{\sqrt{t-x}}dt$$ para resolver g(x) cuando f(x) es una función conocida. La integral de x a a hace que este problema parezca un poco incómodo.

He comprobado que es posible invertir ecuaciones de la forma $$ f(x)=\int_0^x \frac{g(t)}{(x-t)^\alpha}dt$$ para $0<\alpha<1$ utilizando la transformada de abel, pero no creo que esto se aplique.

Answer 1

Definir $L_\alpha$ por $$ (L_\alpha g)(x)=\int_0^x \frac{g(t)}{(x-t)^\alpha}\mathrm dt. $$ Entonces, utilizando el cambio de variable $s=a-t$ se obtiene $$f(x)=\int_x^a \frac{g(t)}{\sqrt{t-x}}\mathrm dt=\int_0^{a-x} \frac{g(a-s)}{\sqrt{a-x-s}}\mathrm ds=(L_{1/2}h)(a-x),$$ donde la función $h$ se define por $h(t)=g(a-t)$ por cada $t$ . Por lo tanto, si uno sabe $f$ tal que $$f(x)=\int_x^a \frac{g(t)}{\sqrt{t-x}}\mathrm dt$$ y si se puede invertir $L_{1/2}$ , entonces se sabe que $h$ tal que $(L_{1/2}h)(x)=f(a-x)$ por lo que se sabe $g$ desde $g(t)=h(a-t)$ por cada $t$ .