Encontrar el $(n-1)$ derivada de $f(x)=\frac{e^{bx}}{(x+a)^n}$

Question

Estoy interesado en calcular la cantidad $f(n,x)=\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{e^{bx}}{(x+a)^n}$ , donde $a$ y $b$ son constantes reales positivas. $n$ es un número natural.

He intentado y no he encontrado ningún tipo de relación de recursión que pueda ayudar a encontrar una forma cerrada para $f(n)$ . ¿Alguien tiene alguna idea de cómo calcularlo? Sospecho que podría haber una buena forma cerrada en términos de polinomios de Legendre, pero tal vez estoy siendo demasiado optimista.

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilizando La regla de Leibniz tenemos

$$\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{e^{ix}}{(x+a)^n}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\frac{d^k(x+a)^{-n}}{dx^k}\frac{d^{n-k}e^{ix}}{dx^{n-k}}$$