Para resumir los comentarios anteriores :
(a)
Dejemos que $p_n(z)$ sean polinomios que aproximen uniformemente $f(z)$ en $A$ . Considere el contorno $\gamma = \{|z| = 1\}$ .
Por el teorema de Cauchy, ya que los polinomios son holomorfos en todas partes en el interior del círculo $|z| = 2$ , obtenemos que $\int_{\gamma} p_n(z)dz = 0$ para todos $n$ .
Sin embargo, es bien sabido que $\int_{\gamma} \frac 1z dz = 2 \pi i$ .
Ahora, si $p_n(z) \to \frac 1z$ uniformemente en $A$ en ese caso, en particular, debemos tener $\int_{\gamma} p_n(z)dz \to \int_{\gamma} \frac 1zdz$ que hace no retener. En consecuencia, ninguna secuencia de polinomios puede uniformemente aproximado $\frac 1z$ en este anillo (o en cualquier otro centrado en el origen con el mismo argumento).
(b)
Esto es mucho más obvio: la función $f(z)$ sólo tiene un polo, que está fuera $A$ . En consecuencia, podemos simplemente tomar $r_n = f$ para todos $n$ .
El teorema que generaliza este tipo de aproximación, es Teorema de Runge . Dice :
Dejemos que $K \subset \mathbb C$ ser compacto y $f$ sea una holomorfa en un conjunto abierto que contenga $K$ . Sea $D$ sea cualquier que tiene al menos un elemento de cada componente acotado de $\mathbb C \setminus K$ . Entonces, podemos encontrar funciones racionales $r_n$ tal que :
- Para todos $n$ los polos de $r_n$ están contenidas en $D $ .
- $r_n \to f$ uniformemente en $K$ .
También tenemos el más fuerte Teorema de Mergelyan que elimina el supuesto de holomorficidad en la frontera de $K$ .
Si $K$ es un subconjunto de $\mathbb C$ tal que $\mathbb C \setminus K$ está conectado, entonces cada continuo función $f:K \to \mathbb C$ con $f$ holomorfo en $K^{\circ}$ es aproximable por polinomios uniformemente en $K$ .
