Curiosa relación entre la dependencia en ℏ de las unidades de Planck y las dimensiones de las unidades

Question

Mirando Unidades Planck parece haber una curiosa regla entre la dependencia en $\hbar$ de una unidad Planck y las dimensiones unitarias de la cantidad física correspondiente.

Sean las dimensiones de la cantidad física ( $Q$ siendo la unidad de carga eléctrica y $\Theta$ siendo la unidad de temperatura):

$$ L^l M^m T^t Q^q \Theta^\theta.$$

Entonces, si : $$l + m + t + q + \theta = 0$$

la unidad Planck no depende de $\hbar$ .

Esto parece funcionar para todas las unidades base de Planck y, en consecuencia, para todas las unidades derivadas de Planck.

¿Es sólo casualidad, o hay una razón más fundamental?

Answer 1

Esto no es casualidad. Si miras un poco más abajo en ese artículo de la Wikipedia, verás que todas las unidades básicas contienen $\sqrt{\hbar}$ . Así que podríamos reescribir cada unidad de Planck como $L = \sqrt{\hbar}L'$ donde $L'$ hace no dependen de $\hbar$ y así sucesivamente. Por lo tanto:

$L^lM^mT^tQ^q\Theta^\theta \\=(\sqrt{\hbar}L')^l(\sqrt{\hbar}M')^m(\sqrt{\hbar}T')^t(\sqrt{\hbar}Q')^q(\sqrt{\hbar}\Theta')^\theta \\=\sqrt{\hbar}^{l+m+t+w+\theta}L'^lM'^mT'^tQ'^q\Theta'^\theta$

Y por lo tanto, si (y sólo si) $l+m+t+w+\theta=0$ entonces no hay dependencia de $\hbar$ .

Answer 2

Obsérvese que se mide en las cinco unidades correspondientes a $L,T,M,Q,Θ$ .

Elija una unidad, digamos el tiempo $T$ . Entonces, en primer lugar

$[c]=L T^{−1},$

traduce la longitud al tiempo, entonces

$[G]=M^{−1} L^3 T^{−2}=TM^{-1},$

traduce la masa al tiempo, entonces

$[1/ε_0]=Q^{−2}L^3 M T^{−2}=(TQ^{-1})^2 ,$

traduce la carga en tiempo, entonces

$[k_B]=Θ^{−1}L^2 M T^{−2}=TΘ^{−1}$

traduce la temperatura al tiempo, y luego

$[\hbar]=L^2 M T^{−1}=T^2$

es el único con exponente no evanescente. La cuestión es que no se utiliza " $L^2 M$ " de la constante de potencia como unidad, por lo que ésta es la cantidad que sobra.

Tras el proceso de eliminación, las unidades son múltiplos de

$[\sqrt{\hbar}]=T.$

Answer 3

Ya que no te gusta el análisis dimensional, intentaré un enfoque ligeramente diferente (pero en última instancia equivalente) tratando de relacionar las unidades de Planck con las cantidades físicas.

La masa de Planck es la masa del agujero negro más pequeño posible. También es una energía porque $c=1$ . La longitud de Planck es el tamaño de dicho agujero negro y el tiempo de Planck es el tiempo de recorrido de la luz sobre una longitud de Planck. Como el tamaño de un agujero negro es proporcional a su masa, las tres magnitudes son proporcionales entre sí. Además, las constantes de proporcionalidad no pueden implicar $\hbar$ ya que las relaciones entre ellos son esencialmente clásicas (el tamaño de los agujeros negros, la velocidad de la luz). Así que estos tres escalan de la misma manera en términos de $\hbar$ .

Ahora bien, la temperatura es una energía y la única energía que existe es la masa de Planck, así que de nuevo tienes la conexión. Puedes pensar en esto como la temperatura en la que los agujeros negros planckianos se producen térmicamente en abundancia, por lo que es una especie de temperatura máxima que un sistema razonable podría tener.

Por cierto, la temperatura Hawking de un agujero negro es proporcional a $\hbar$ ya que es un efecto mecánico cuántico, pero también es inversamente proporcional a la masa, y como la masa de Plank $\sim\sqrt\hbar$ la escala neta para la temperatura de un agujero negro planckiano es $\sim\sqrt\hbar$ la misma que la masa de Planck. Si la temperatura de Planck se define de esta manera, esto puede parecerte poco satisfactorio, ya que antes no establecí realmente la escala de la masa de Planck, sólo que escala de la misma manera que las otras cantidades.

Queda la carga de Planck. Esta es la carga máxima permitida para un agujero negro planckiano cargado (un extremo agujero negro). La carga de un agujero negro extremo es proporcional a su masa (no intuyo por qué), así que esto vuelve a escalar de la misma manera. Se puede ver este resultado en la métrica de un agujero negro cargado, pero no conozco ninguna razón intuitiva. Quizás alguien más pueda iluminarnos a ambos sobre este asunto.

Gran advertencia : nada de esto tiene en cuenta las cosas de la gravedad cuántica que seguramente dominan a esta escala. Esto es un enorme montón de palabrería, pero aparte del análisis dimensional esto es lo que puedo dar.