Graduación en un álgebra graduada libre conmutativa

Question

Dejemos que $V$ sea una dimensión clasificado $\mathbb Q$ -espacio vectorial; $V=\bigoplus_{i\geq 0}V_i$ y todos $V_i$ son cero, excepto $V_{2n+1}$ para un determinado $n$ . Sea $v$ sea un generador de $V_{2n+1}$ . Tomemos ahora el álgebra libre conmutativa graduada libre $\Lambda V$ en $V$ . Quiero entender la clasificación en $\Lambda V$ . Sé que $\Lambda V$ se califica como $\Lambda V=\bigoplus_{i\geq 0}{\Lambda^iV}$ donde cada $\Lambda^iV$ tiene una base formada por todos los productos posibles de $i$ elementos de la base de $V$ . En nuestro caso el único elemento base es $v$ y $v^2=0$ por lo que el único producto es $v$ de longitud 1, por lo que $\Lambda V=\Lambda^0V\oplus \Lambda^1V$ donde $\Lambda^0V$ es isomorfo a $\mathbb Q$ con base $1$ y $\Lambda^1V$ es isomorfo a $V$ con base $v$ . ¿Es esto correcto? es posible tener la siguiente clasificación : $\Lambda V=\Lambda^0V\oplus \Lambda^{2n+1}V$ ?

Creo que no es posible porque no podemos tener un elemento de longitud $2n+1$ de $v$ desde $v^2=0$ . ¡¡Gracias por su ayuda!!

Answer 1

La descomposición de $\Lambda V$ que das es útil a la hora de considerar la longitud, como te refieres a ella, o el número de factores de un producto en cuña $x = v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \in \Lambda V$ .

Para averiguar la graduación, considere que el álgebra graduada conmutativa libre suele tener una propiedad universal, a saber, ser universal para los mapas desde un espacio vectorial graduado a un espacio vectorial conmutativo y graduado $\mathbb{Q}$ -Álgebra: Dado un mapa de módulos graduados de este tipo $f:V \to U(E)$ , donde $U$ es el funtor de olvido de álgebras graduadas a espacios vectoriales graduados, debería haber un mapa único de álgebras graduadas $\hat f: \Lambda V \to E$ ampliando $f$ .

En particular, $V$ puede tomarse como contenida en $\Lambda V$ y la inclusión debe respetar la clasificación, por lo tanto, la clasificación que usted mismo propone con $\mathbb{Q}$ en grado $0$ y $\Lambda^1 V = V$ (!) en grado $2n+1$ es el camino a seguir aquí.

En general, los elementos de la forma $v \in V$ mantienen su graduación, y los productos o elementos de grado superior a uno añaden sus graduaciones: $$ \operatorname{deg} ( v_1 \wedge \ldots \wedge v_k) = \sum_{i=1}^k \operatorname{deg}(v_i). $$

La confusión probablemente proviene del hecho de que si $V$ es un espacio vectorial interpretado como un espacio vectorial graduado sentado en grado $1$ , entonces en $\Lambda V$ la noción de longitud y de grado coinciden.