Resonancias para operadores de Schrodinger con potenciales radiales

Question

Dejemos que $V\in L^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ sea un potencial radial, compactamente soportado, y consideremos el operador de Schrodinger $H:=-\Delta + V$ en $L^2(\mathbb{R}^3)$ . Sea $\psi$ sea una resonancia para $H$ es decir, una función $\psi\in L^2(\mathbb{R}^3,\langle x\rangle^{-1-\varepsilon}dx)\setminus L^2(\mathbb{R}^3)$ que satisface $(-\Delta + V)\psi=0$ .

¿Es cierto que $\psi$ ¿es radial? Si no, ¿es al menos cierto que la proyección ortogonal de $\psi$ en el espacio de las funciones radiales es una resonancia?

Answer 1

Amplía tu resonancia en armónicos esféricos: $\psi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_m \psi_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi)$ . Entonces cada coeficiente satisface la ecuación radial de Schrödinger $$ -\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial \psi_{\ell m}}{\partial r} + \frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\psi_{\ell m} + V(r) \psi_{\ell m} = 0 . $$ Desde $V(r)$ está soportado de forma compacta, para un tamaño suficientemente grande $r$ , debe tener $\psi_{\ell m} = A r^\ell + B r^{-\ell-1}$ . Su condición asintótica obliga a $A=0$ para todos $\ell$ . Por otro lado, la asintótica del término restante significa que, para $\ell \ge 1$ , $\psi_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi)$ estará en $L^2(\mathbb{R}^3)$ . Por lo tanto, el componente de $\psi$ ortogonal a las funciones radiales es necesariamente en $L^2(\mathbb{R}^3)$ .

Sólo el $\ell=0$ escapes del caso $L^2(\mathbb{R}^3)$ . Y por supuesto, cuando $\psi_{\ell=0}$ es no evanescente, es $O(r^{-1})$ en el infinito y por lo tanto una resonancia según su definición. Así que la respuesta a tu segunda pregunta es Sí, pero si hay soluciones a mayor $\ell$ (serán eigenfunciones normalizables), para luego mezclarlas con una $\ell=0$ resonancia le dará resonancias no radiales.