Un polinomio de ${2n-1 \choose n} \pmod{p} $

Question

¿Puede alguien demostrarlo?
$p$ es un número primo.( $p \neq 2$ ) $$ (x-1)(2x-1)\sum_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}(-1)^n{2n-1 \choose n}(x^2-x)^{n-1}=x^{p-1}-1 \pmod{p} $$

Answer 1

Trabajamos sobre el terreno $\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Si un polinomio $f\in \mathbb{Z}_p[x]$ satisface $f(a)=0$ para cada $a\in \mathbb{Z}_p$ entonces $f(x)$ es un múltiplo de $x^p-x=\prod_{a\in \mathbb{Z}_p}(x-a)$ en particular, si además $\deg f<p$ entonces $f\equiv 0$ . Además, $\binom{2n-1}{n}=\binom{2n-1}{n-1}$ es un múltiplo de $p$ si $(p-1)/2<n<p$ .

Resumiendo lo anterior, basta con demostrar que, para cada $a\in \mathbb{Z}_p$ tal que $\color{blue}{2a\notin\{0,1,2\}}$ , $$\sum_{n=1}^{p-1}(-1)^n\binom{2n-1}{n-1}(a^2-a)^{n-1}=0.\tag{*}\label{eq0}$$ Denotemos la suma sobre $b\in\mathbb{Z}_p\setminus\{0\}$ sólo por $\sum\limits_{b\neq 0}$ y recuerda que $$\sum_{b\neq 0}b^k=\begin{cases}-1,& (p-1)\mid k\\ 0,& (p-1)\not\mid k\end{cases}\qquad(k\in\mathbb{Z})\tag{1}\label{eq1}$$ $$\sum_{k=1}^{p-1}b^k=\begin{cases}-1,& b=1\\ 0,& b\neq 1\end{cases}\qquad(b\in\mathbb{Z}_p)\tag{2}\label{eq2}$$ Ahora \eqref {eq1} da $$\sum_{b\neq 0}b^{-n+1}(1+b)^{2n-1}=\sum_{k=0}^{2n-1}\binom{2n-1}{k}\sum_{b\neq 0}b^{k-n+1}=\begin{cases}-\dbinom{2n-1}{n-1},& 1\leqslant n\leqslant p-2\\ -1, & n=p-1\end{cases}$$ Como $(a^2-a)^{p-2}=(a^2-a)^{-1}$ la suma en \eqref {eq0} es entonces $$\frac{1}{a(1-a)}+\sum_{n=1}^{p-1}\sum_{b\neq 0}(1+b)\big(a(1-a)(1+b)^2/b\big)^{n-1}.$$ Para solicitarlo \eqref {eq2}, obsérvese que $$a(1-a)(1+b)^2=b\iff b\in\left\{\frac{a}{1-a},\frac{1-a}{a}\right\}$$ (y estos son diferentes como $2a\neq 1$ ). Por último, la suma en \eqref {eq0} es $$\frac{1}{a(1-a)}-\Big(1+\frac{a}{1-a}\Big)-\Big(1+\frac{1-a}{a}\Big)=0.\tag{QED}$$