Poner axiomas para algunos símbolos. Jugar con sus consecuencias cualitativa y simbólicamente. Construir teorías. ¿El libro?

Question

Me interesa el diseño y la construcción de teorías. Por construir teorías, me refiero a establecer axiomas de diversos tipos, sobre diversos campos, explorando sus consecuencias, tal vez interesantes, o probablemente aburridas.

Me gustaría saber si hay libros:

• tal vez con una inclinación histórica, caracterizando los pensamientos que estuvieron detrás del diseño de un sistema particular de axiomas para un catálogo de teorías;

• quizás con una inclinación no histórica, sólo explorando la axiomatización en general;

• quizás con una inclinación "divertida", intentando recrear una teoría matemática bien establecida desde cero;

• ¿quizás que sea claramente un texto de álgebra abstracta, pero que explore cualitativamente las diversas consecuencias de la elección de determinados axiomas?

¿Existe ese libro, o estoy soñando?

Answer 1

No estoy seguro de que haya un solo libro que se ajuste a sus variados desideratos. Pero, abordando sólo el primero de los puntos, la historia de la axiomatización de la geometría (y luego de las geometrías, en plural) es sin duda un lugar obvio para empezar. Hay un artículo de Marvin Greenberg, rico pero muy legible aquí . Y luego, para mucho más, está el libro de Greenberg mencionado en su bibliografía.

Answer 2

Te sugiero que :

Robin Hartshorne, Geometría: Euclides y más allá (2005)

y

Ian Mueller, Filosofía de las matemáticas y estructura deductiva en los elementos de Euclides (1ª ed. 1981).

Ambos se ocupan de geometría y tienen una inclinación histórica (sin "diversión").

También puede ver :

Howard Eves, Fundamentos y conceptos fundamentales de las matemáticas (1ª ed. 1990), con un buen capítulo 6 sobre Axiomática formal También se ocupa de álgebra y sistemas numéricos (sin "diversión").

En cuanto al desarrollo del álgebra y la axiomática modernas, véase :

Leo Corry, El álgebra moderna y el surgimiento de las estructuras matemáticas (2004).

Con un punto de vista diferente, puede ser interesante también :

PhilipJ Davis y Reuben Hersh, La experiencia matemática (1ª ed. 1981).

En conclusión, creo que no será fácil encontrar referencias que "ayuden" al "diseño de un sistema particular de axiomas para un catálogo de teorías".