Dada una $\sigma$ -Álgebra $\mathcal A$ en un conjunto $X$ ¿podemos encontrar una medida no trivial en $(X, \mathcal A)$ ?

Question

Supongamos que $X$ es un conjunto no vacío, y $\mathcal A$ es un no trivial $\sigma$ -álgebra en $X$ . Me preguntaba si es posible encontrar una medida no trivial $m : \mathcal A \to \Bbb R_{0} \cup \{+\infty\}.$

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Sé que esto puede ser imposible si exigimos más condiciones a la medida. Por ejemplo, con invariancia por traslación y finitud en conjuntos compactos y con $X=\Bbb R$ no podemos tener $\mathcal A = \cal P(\Bbb R)$ por los conjuntos Vitali. Pero tal vez podamos encontrar una medida no trivial en $\cal P(\Bbb R)$ .

Mi idea era la siguiente. Considere la colección $$\Bbb M = \left\{(\cal B, \mu) \mid \cal B \subset \cal A \textrm{ $ \N - El sigma $-algebra on $ X $ }, \mu : \cal B \to \Bbb R_{0} \cup \{+\infty\} \textrm{ non-trivial measure } \right\}$$ Es una colección no vacía porque si $E \in \cal A$ es un conjunto no vacío, entonces puedo definir $n(E) = 1 = n(X \setminus E), n(X)=2$ para que $(\{\varnothing, E,X\setminus E, X\} \,;\, n) \in \Bbb M$ .

Además, $\Bbb M$ se puede dotar de un orden parcial: $$(\cal B, \mu) (\cal B', \mu') \iff \cal B \subseteq\cal B' \;,\; \mu'\big\vert_{\cal B} = \mu.$$ Esto hace que $\Bbb M$ en un conjunto inductivo. Por el lema de Zorn, escoge un elemento maximal $(\mathcal E,m)$ . Si hubiera un conjunto $F \in \cal A \setminus \cal E$ , entonces podría ampliar $m$ definiendo $m(F)=1$ . En realidad, no estoy seguro de que esto sea suficiente para ampliar $m$ a $\sigma(\cal E \cup \{F\})$ para demostrar que $\cal E \neq \cal A$ es imposible. Aquí estoy atascado...

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Como mencionó Prahlad Vaidyanathan en los comentarios, considere la medida delta. Fijar $x \in X$ y que \begin{align*} m_x(A) = \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x\not\in A \end{cases} . \fin{align*} Entonces $m_x$ es una medida finita sobre $X$ .
Esto se puede generalizar a $m = \sum_{x \in X} p_x \mu_x$ con $p_x \in [0, \infty]$ .

Otra medida posible sería generalizar la medida de recuento. En $\mathbb{N}$ la medida de recuento da simplemente la cardinalidad de un conjunto $N \subset \mathbb{N}$ . Así que dejemos \begin{align*} m(A) = \begin{cases} |A | & A \text{ is finite} \\ \infty & \text{else}\end{cases} \end{align*} que de nuevo da una medida sobre $X$ .
En cuanto a la invariabilidad por traslación, si $\lambda \in \mathbb{R}$ entonces tenemos \begin{align} m(A) = m(\lambda+A) \end{align} para todos $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ .