distribución de elementos relacionados con los números primos

Question

Esta es mi pregunta. Arreglar cualquier primo $p$ y considerar el conjunto de todos los elementos de la forma $\frac q{p^k}$ , donde $q$ es cualquier otro primo y $k$ es el único número entero tal que $\frac q{p^k}$ pertenece al intervalo $]1,p[$ . ¿Es cierto que este conjunto es denso en $]1,p[$ y tiene una "buena" distribución?

Gracias de antemano por cualquier comentario :)

Answer 1

Desde el artículo de Wikipedia sobre las brechas primarias tenemos que para cada $\varepsilon > 0$ Hay un número $N$ tal que $g_n < \varepsilon p_n$ para todos $n > N$ (donde $g_n$ es el $n$ de la primera brecha). Esto es suficiente para demostrar que su conjunto es denso.

Sin embargo, no se distribuye uniformemente. Míralo de esta manera: dado un número entero $d$ con $1 \le d < p$ , su $q/p^k$ está en $[d,d+1)$ si y sólo si $d$ es el primer dígito de la base- $p$ ampliación de $q$ .

Ahora lea el artículo ¿Se aplica la ley de Benford a los números primos? por Chris K. Caldwell en el sitio web The Prime Pages. En él se discute ampliamente la cuestión de si la base inicial $10$ dígitos de los primos están equidistribuidos, y explica por qué no hay una respuesta directa. Sin embargo, muestra que si modificamos la pregunta para que sí tenga una respuesta inequívoca, la respuesta es: la "proporción" (en un sentido adecuado) de primos con base inicial- $p$ dígito $d$ tiende a $\log_p(1+1/d)$ .