Calculando $E[X^2 \mid X > \frac{1}{2}]$ dado $f(x)$ & Pregunta de Distribución Condicional

Question

Tengo $f(x) = (1-x)I(0 \frac{1}{2}\right ]$.

La solución del profesor dice que $E\left[\ X^2 \mid X > \frac{1}{2}\right ] = \frac{\int_{\frac{1}{2}}^{\infty} x^2f(x)dx}{\int_{\frac{1}{2}}^{\infty} f(x)dx}$ inmediatamente en la primera línea y luego continúa con la integración.

¿Por qué? ¿No tenemos que encontrar primero la probabilidad condicional de la función?

Sé que $E[u(x),y] = \int_{\infty}^{\infty}u(x)f(x|y)dx$, pero nuestra función es de una sola variable. ¿Cómo encontramos $f(x|y)$?

Answer 1

$\dfrac{ f(x) I(x \gt \tfrac12)}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) I(x \gt \tfrac12)\, dx}=\dfrac{ f(x) I(x \gt \frac12)}{\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\infty} f(x) \, dx} $ es la densidad condicional.

La solución dada multiplica esto por $x^2$ y luego integra para encontrar la esperanza condicional $E[X^2 \mid X \gt \frac12]$.

Answer 2

¿Por qué? ¿No tenemos que encontrar primero la probabilidad condicional de la función?

Ya lo has hecho, porque: $f_{X\mid X > 1/2}(x) = \dfrac{f_X(x)\cdot\mathbf 1_{x > 1/2}}{\int\limits_{1/2}^\infty f_X(x)\operatorname d x}$