Supongamos que $K:H\to H$ es un operador lineal compacto en un espacio de Hilbert $H$ .
¿Cómo puedo demostrar que el rango de $I+K$ está cerrado en $H$ ? Creo que esto equivale a demostrar que $\{x_n\}\subset H$ y $(I+K)x_n\to y\in H \implies \exists x\in H$ tal que $(I+K)x=y$ .
Pista 1: Reducir el problema al caso en que todos los $x_n$ son ortogonales a $\mathrm{Ker}(I+K)$ .
Pista 2: Demuestre ad absurdum que ${x_n}$ está acotado. Para empezar esta subprueba consideremos los vectores $\Vert x_n\Vert^{-1} x_n$ .
Pista 3: Encontrar la subsecuencia convergente en $(I+K)x_{n_k}$ . ¿Por qué existe?
Pista 4: Demuestra que $\{x_{n_k}\}$ también tienen un límite (digamos $x$ ) y luego mostrar $y=(I+K) x\in \mathrm{Im}(I+K)$
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