Demostrar que $\frac{d(y,A)}{\lvert x-y \rvert} \to 0$ cuando $y \to x$, donde $x$ es un punto de densidad de $A$.

Question

Para $A \subseteq \mathbb R^n$ y $y \in \mathbb R^n$, definimos $$d(y,A) = \inf \{\lvert x-y \rvert : x \in A \}.$$ Además, para un conjunto medible (Lebesgue) $A \subseteq \mathbb R^n$, decimos que $x \in \mathbb A$ es un punto de densidad de $A$ si $$\lim_{r \to 0^+} \frac{\lambda(B_r(x) \cap A)}{\lambda(B_r(x))} = 1,$$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb R^n$. Estoy tratando de demostrar que si $A \subseteq \mathbb R^n$ es medible, entonces para cualquier $x \in A$ que sea un punto de densidad de $A$, tenemos $$\lim_{y \to x} \frac{d(y,A)}{\lvert x -y \rvert} = 0.$$

He estado atascado en esto por algún tiempo y no siento que haya hecho progreso alguno. Parece que debería ser demostrado usando algo como el Teorema de Diferenciación de Lebesgue, pero no sé a qué función aplicar el teorema. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada! ¡Gracias!

Answer 1

Esquema de una demostración

Piensa en "$x$ es un punto de densidad de $A$" de esta manera. A medida que consideras bolas centradas en $x$ con radios que se acercan a $0,$ las medidas de "$A$ interseca estas bolas" se acercarán (desde un punto de vista de porcentaje/ratio) a la medida de las bolas. Es decir, a medida que utilizas bolas para contraerse hacia $x,$ las bolas se llenarán de puntos de $A$ de manera que se acerquen al 100% de la medida de estas bolas.

Ahora si

$$\limsup_{y \to x} \frac{d(y,A)}{\lvert x -y \rvert} > 0,$$

entonces habría una secuencia $\{B_{{\epsilon}_n}(x)\}$ de tales bolas contrayéndose hacia $x\;$ (es decir ${\epsilon}_n \rightarrow 0)\;$ tal que cada $B_{{\epsilon}_n}(x)$ contiene una subbola de radio $\delta_n \geq K\epsilon_n$ donde la subbola no contiene puntos de $A$ y donde $K > 0$ es una constante posiblemente dependiendo de $x$ y $A,$ pero no dependiendo de $n.$ (¿Por qué?) La presencia de estas subbolas significa que

$$\limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\lambda(B_{{\epsilon}_n}(x) \cap A)}{\lambda(B_{{\epsilon}_n}(x))} < 1,$$

lo cual contradice que $x$ sea un punto de densidad de $A.$