Forma alternativa de resolver un límite racional en $\Bbb C$ cuando la factorización y la conjugación del denominador fallan

Question

Problema

Demostrar que $$\lim_{z\to w}{F(z)} = 6+8i$$ donde $F(z)=\dfrac{z^2+7-24i}{z-3-4i}$ y $w=3+4i$ y $z=x+iy$ .

Enfoques fallidos

He llamado $n=z^2+7-24i$ y $d=z-3-4i$ .

1. Pruebe el factoring $n$ en una diferencia de cuadrados para cancelar con $d$ Sin embargo $\sqrt{7-24i}=4-3i$ .

2. Intente evaluar $F(w)$ por sustitución directa, lo que da $d=0$ y es indefinido.

3. Intente evaluar $F(w)$ considerando $\dfrac{n\overline d}{d\overline d}$ Sin embargo $\overline d = (x-3)-i(y-4)$ evalúa a $0$ en $z=3+4i$ lo que implicaría que $F(w)=0.$

Pregunta

El hecho de que el tallo de la pregunta sugerido para parametrizar $z$ en partes reales e imaginarias me sugiere que debo invocar algunos teorema sobre $f(z)\to L$ si $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \Re f(z) \to \Re L$ y $\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \Im f(z) \to \Im L$ .

¿Qué otros enfoques hay para un problema como éste? ¿Qué paso podría ser el siguiente con este límite en particular?

Answer 1

$$F(z) = \frac{z^2+7-24i}{z-3-4i} = \frac{(z-3-4i)(z+3+4i)}{z-3-4i} = z+3+4i $$ De modo que $$\lim_{z\to 3+4i} F(z) = \lim_{z\to 3+4i} (z+3+4i) = 6+8i $$

Answer 2

Un problema que le da la respuesta ¡! En lugar de decirle que busque $$\lim_{z\to3+4i}\frac{z^2+7-24i}{z-(3+4i)}$$ incluso te dice cuál debe ser esa respuesta. Si la respuesta va a ser $6+8i$ entonces el numerador debe ser $$(z-(3+4i))(z-(3+4i)+6+8i).$$ ¿Lo es? ¿Esto equivale a $z^2+7-24i$ ?

Answer 3

Una pista: Usa la regla de L'Hospital, entonces $$\lim_{z\to3+4i}\dfrac{z^2+7-24i}{z-3-4i}=\lim_{z\to3+4i}2z=6+8i$$