$$ x= \frac{{(\underbrace{111...1}_{\text{no. of 1's = n}})}^2}{10^{n-1}} \\ y = (\underbrace{111...1}_{\text{no. of 1's = n}})^2 (mod \ 10^n) \\ S=\lfloor x \rfloor +y $$
Encuentre una fórmula para cualquier valor general de $n$ .
Respuesta
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Ahmad
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En primer lugar, vamos a tratar $y=(11111....111)^2 (1's :n \space times) \mod 10^n$ que se puede reescribir como $y = (\frac{10^n-1}{9})^2 \mod 10^n$ que puede reducirse a $y=(10^n-1)^2 * \frac{1}{81} \mod 10^n$ Ahora es obvio que $(10^n-1)^2 = 1\mod 10^n$ así que en realidad $y= inverse \space of \space 81 \mod 10^n$ .
como ejemplo: para $n=4$ entonces $y = \frac{1}{81} \mod 10^4 = 4321$ puede encontrar el valor de $y$ utilizando el comando $PowerMod[81,-1,10^n]$ para cualquier $n$ en Wolfram Alpha.
En segundo lugar, tratar con $x$ que es un poco más complicado que $y$ queremos encontrar el valor de $\lfloor \frac{(\frac{10^n-1}{9})^2 }{10^{n-1}} \rfloor$ expandiendo el cuadrado y haciendo algo de aritmética básica llegamos a $\lfloor \frac{10^{2n}-2*10^n+1}{81*10^{n-1}} \rfloor$ ya que $10^{2n}-2*10^{n}$ y $81*10^{n-1}$ ambos números pares por lo que el $1$ no afectará al valor del suelo porque no puede elevar la expresión al entero superior más cercano. así que nos deshacemos de él y dividimos por $10^{n-1}$ Ahora nos queda $\lfloor \frac{10^{n+1}-2*10^1}{81} \rfloor$ y porque $\phi(81)=54$ donde $\phi(x)$ es la función totiente de Euler, lo que significa que el $10^n$ es 54-ciclo(periodo) mod 81. (en realidad es sólo 9).
enumeraré aquí todo el resto de la división de $10^{n+1}$ en $81$ .
n=0 => 10 mod 81
n=1 => 19 mod 81
n=2 => 28 mod 81
n=3 => 37 mod 81
n=4 => 46 mod 81
n=5 => 55 mod 81
n=6 => 64 mod 81
n=7 => 73 mod 81
n=8 => 1 mod 81
ahora para el resto que son menos de $20$ restaremos $1$ de la respuesta final debido a la función suelo.
también hay un patrón que es $ 9 n+10 \mod 81$
así que $\lfloor x \rfloor = \frac{10^{n+1}-(9 n+10) \mod 81}{81} + (-1 \space if \space n = 0,1,8 \mod 9)$
el toque final es que calculamos $S$ para cualquier $n$ que serán los siguientes:
$S_n = \frac{1}{81} \mod 10^n + \frac{10^{n+1}-(9 n+10) \mod 81}{81} + (-1 \space if \space n = 0,1,8 \mod 9)$
nota : $(-1 \space if \space n = 0,1,8 \mod 9)$ esto significa que a partir del valor de $S_n$ restaremos $1$ si $n$ es $0$ o $1$ o $8$ modulo $9$ .
espero que esta respuesta sea la que busca.
