Realización de la universalidad $C^*$ -algebras como concretas $C^*$ -algebras

Question

¿Cómo puedo en general realizar una C*-álgebra universal generada por algunos generadores y relación como C*-álgebras concretas? Por ejemplo, sé que la C*-álgebra universal generada por un solo unitario es $C(\mathbb{T})$ mediante cálculos funcionales. Estoy viendo los siguientes ejemplos para trabajar:

1. álgebra universal C* generada por un único elemento autoadjunto cuya norma es 1.
2. álgebra universal C* generada por un solo elemento positivo cuya norma es 1.
3. álgebra universal C* generada por un solo elemento normal cuya norma es 1.
4. universal C*-álgebra generada por una sola proyección.

Answer 1

Editar Como se ha señalado en los comentarios, lo siguiente responde a la pregunta de unital Álgebras C* presentadas en términos de generadores y relaciones. Cuando digo C*-álgebra, realmente quiero decir C*-álgebra unital.

Puede depender de lo que se entienda exactamente por "concreto", pero dudo mucho que haya una solución general para esto; encontrar una realización concreta de un álgebra C* universal requiere clasificar todas las representaciones de los generadores y relaciones dadas en el espacio de Hilbert, y esto es un problema extremadamente difícil en general. Para un argumento más riguroso, véase más abajo.

Pero en tus cuatro ejemplos, las álgebras C* universales son todas conmutativas, y las respuestas simples son posibles:

1. $C([-1,1])$ .
2. $C([0,1])$ .
3. $C(\mathbb{D})$ donde $\mathbb{D}$ es el disco de la unidad.
4. $C(\{0,1\})=\mathbb{C}^2$ .

En cada caso, el generador es la función de identidad, al igual que en su $C(\mathbb{T})$ ejemplo. Es un buen ejercicio verificar la propiedad universal requerida en cada uno de estos casos.

Otro buen ejemplo es el álgebra C* generada libremente por dos proyecciones. Esta resulta ser el grupo C*-álgebra $C^*(\mathbb{Z}_2\ast \mathbb{Z}_2)=C^*(\mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z}_2)$ y puede realizarse concretamente como la subálgebra de $C([0,1],M_2(\mathbb{C}))$ que contiene aquellas funciones de valor matricial que son diagonales en los puntos extremos $0$ y $1$ . Ver este documento de Raeburn y Sinclair.

Entonces, ¿por qué creo que es imposible una solución general? Consideremos el problema de la palabra para los grupos: hay grupos dados en términos de generadores y relaciones para los que no hay ningún algoritmo que pueda decidir si una palabra dada en los generadores representa el elemento unidad. Ahora podemos ver el grupo máximo C*-álgebra de tal grupo. Esta C*-álgebra está dada por los mismos generadores y relaciones junto con relaciones adicionales que requieren que los generadores sean unitarios. Si su significado de "representación concreta" comprende la existencia de un algoritmo que decida si una determinada combinación formal de generadores representa $0$ entonces se deduce que dicha representación concreta no puede existir.

Answer 2

Sólo un complemento a la respuesta de Tobias Fritz: Todos tus ejemplos son obviamente conmutativos, ya que sólo hay un generador que es normal. Por lo tanto, la pregunta se refiere realmente a encontrar ciertos terminal espacios compactos de Hausdorff. Por ejemplo, 1. proviene del espacio compacto terminal de Hausdorff $X$ equipado con una función continua $X \to \mathbb{C}$ que es autoadjunto y norma $1$ es decir, cuya imagen es igual a $[-1,1]$ . Esto es obviamente $[-1,1]$ , dotado de la identidad. Se obtiene la misma respuesta cuando se supone que la norma es $\leq 1$ (pero $<1$ no funciona). De forma similar se obtienen las otras respuestas mencionadas por Tobias Fritz.

Answer 3

Aquí hay un suplemento más: un consejo sobre cómo comprobar si un $C^\ast$ -Álgebra $A$ es el universal $C^\ast$ -para una presentación dada. (Probablemente aprendí esto del libro de Terry Loring "Lifting solutions to perturbing problems in $C^\ast$ -algebras").

En primer lugar, compruebe que $A$ se genera realmente por un conjunto de elementos que satisfacen las relaciones dadas.

En segundo lugar, comprobar que toda representación irreducible del universal $C^\ast$ -es una representación de $A$ . Digamos que sus generadores son $x_1,\dots,x_n$ . Entonces se generaría una representación irreducible por elementos $X_1,\dots,X_n$ . Como el centro de una representación irreducible es trivial, cualquier cosa que se construya a partir del $X_i$ 's que $*$ -comparte con todos los $X_i$ es un escalar - por lo que este enfoque funciona bien si sus relaciones implican un cierto grado de conmutatividad, ya que los elementos conmutativos.

Por ejemplo, para demostrar que el universal $C^*$ -en un elemento autoadjunto de norma a lo sumo $1$ es $C_0([-1,1] \setminus \{0\})$ la segunda parte anterior sería la siguiente. Sea $X$ sea el generador en una representación irreducible. Entonces $X$ es un escalar, que es autoadjunto (es decir, real) y tiene norma como máximo $1$ . Así que $X = t \in [-1,1]$ y esta representación corresponde a evaluar en este punto $t$ .