demuestre que existe un subespacio V de X tal que $U \cap V = \{0\}$ y X = U + V

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio lineal y $U$ sea un subespacio de $X$ . Demuestre que existe un subespacio $V$ de $X$ , de tal manera que $U \cap V = \{0\}$ y $X = U + V$ .

Estoy un poco confundido aquí, ¿debemos suponer las dos últimas situaciones y tratar de demostrar que V es un subespacio, o suponer que V es un subespacio y tratar de demostrar las dos últimas situaciones.

Answer 1

En el caso de dimensión finita:

Elija alguna base $\;\{u_1,...,u_k\}\;$ de $\;U\;$ y completarlo a una base $\;\{u_1,...,u_k, v_1,..,v_{n-k}\}\;$ de todo el espacio $\;X\;$ . Ahora simplemente tome $\;V:=Span\{v_1,...,v_{n-k}\}\;$ .

En el caso de dimensión infinita: exactamente como en el caso anterior pero podemos necesitar AC (o lo que es lo mismo en ZFC: la existencia de una base para cualquier espacio vectorial).