espectral de la norma de la matriz aleatoria

Question

Supongamos $A$ $n \times n$ matriz aleatoria con centrado de Gauss (real) yo.yo.d entradas con la varianza $\sigma^2/n$.

Qué sabemos acerca de la norma espectral $s(A)$$A$$\sqrt{\rho(A^t A)}$ ? (donde $\rho(.)$ denota el mayor valor propio de una matriz)

En particular, si $A$ es simétrica, sabemos que $s(A)$ es precisamente igual a $\rho(A)$ y de la circular de la ley implica que $s(A)$ converge a$\sigma$$n\to \infty$.

Es esta última afirmación verdadera para los no-simétrica $A$ ?

Gracias !

Answer 1

En realidad, ni la afirmación es verdadera. La circular de la ley no controla el espectro de radio: podría ser como muchos de los $o(n)$ autovalores la mentira fuera del círculo, y esto no es necesariamente cierto que $\rho(A)$ es una.s. igual a $\sigma$ en el límite.

Creo que casi seguramente $s(A) \to 2\sigma$ tanto en el simétricas y no simétricas de los casos. Para los no-simétrica caso en particular, véase el Teorema 2.1 en este artículo por Rudelson y Vershynin (de sus ICM charla).