Espacios vectoriales y bolas abiertas

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial, dotado de una norma $\Vert\cdot\Vert$ . Sea $V$ sea un subespacio de $X$ .

Supongamos que $V$ contiene alguna bola abierta (bola abierta de ( $X$ , $\Vert\cdot\Vert$ )) centrado en $0$ . Demostrar que $V = X$ .

Creo que tengo una intuición sobre cómo probar esto. Una bola de ( $X, d$ ) centrado en $0$ contiene todas las direcciones posibles en $X$ . Si un espacio vectorial lo contiene, entonces contiene todos los "múltiplos" de todas las direcciones, lo que significa que tiene que ser todo el espacio. Sin embargo, no puedo poner esto en una prueba formal.

Podría tomar algunas $x \in X$ . Si encuentro algún múltiplo escalar de $x$ en el balón abierto, y por lo tanto en $V$ entonces se deduce que $x \in V$ , lo que significa que $X$ = $V$ . ¿Pero cómo encuentro este múltiplo escalar? ¿Tengo que tomar un número arbitrario de $\alpha$ ? Como la bola abierta contiene todas las direcciones posibles, creo que cualquier escalar arbitrario serviría, pero no estoy muy seguro.

Podría entonces generalizar la primera parte con el hecho de que $B_{\Vert\cdot\Vert} (x, r) = x + B_{\Vert\cdot\Vert} (0, r)$ para mostrar la segunda parte. Pero es la primera parte la que me cuesta formalizar en una prueba. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Para la primera, supongamos que $B(0,r)\subset V$ para cada $x\in X, x\neq 0$ , $u={r\over 2}{x\over{\|x\|}}\in V$ Esto implica que $x={{2\|x\|}\over r}u\in V$ .

Para la segunda, supongamos que $B(x,r)\subset V$ , dejemos que $u\in B(0,r)$ , $x+u\in B(x,r)\subset V$ deducimos que $x+u\in V$ , ya que $V$ es un espacio vectorial, $u=(x+u)-x\in V$ deducimos que $B(0,r)\subset V$ podemos aplicar la primera parte.

Answer 2

Sugerencia: piensa en las líneas que pasan por el centro de la bola abierta (en el primer caso) y también por el origen (en el segundo caso): esto reduce la primera parte al caso unidimensional y la segunda al caso bidimensional.

Answer 3

Para tu múltiplo escalar, tienes razón en que todo lo que tienes que hacer es elegir un $c \in (0,r)$ y multiplicar el vector $x$ por $\frac{c}{\lVert x \rVert}$ . Una opción fácil sería simplemente $c = \frac{r}{2}$ y el vector resultante reescalado tendría que estar en $B(0,r)$ . No estoy seguro de cuál es la segunda parte a la que te refieres, pero si es demostrar la afirmación para una bola abierta centrada en algún punto arbitrario en $V$ tienes la idea correcta.