Tengo una pregunta sobre la continuidad en los grupos topológicos. De la Wikipedia:
Un grupo topológico $G$ es un espacio topológico que también es un grupo tal que la operación de grupo
\begin{align*} \mu: G \times G &\rightarrow G\\ (x,y) & \mapsto xy \end{align*}
y el mapa de inversión:
\begin{align*} \iota: G &\rightarrow G\\ x & \mapsto x^{-1} \end{align*}
son continuos. El mapa del producto es continuo si para cualquier $x,y \in G$ y cualquier barrio $W$ de $xy$ en $G$ existen vecindarios $U$ de $x$ y $V$ de $y$ en $G$ tal que $U\cdot V \subseteq W$ .
Ahora lo que me molesta es que la verdadera definición de continuidad para esta operación debería ser:
El mapa del producto es continuo si para cualquier $x,y \in G$ y cualquier barrio $W$ de $xy$ en $G$ existe una vecindad $U\times V$ de $(x,y)$ en $G \times G$ tal que $U\times V \subseteq \mu^{-1}(W)$ .
¿Por qué no es ésta la definición? ¿Hay alguna forma "trivial" de pasar de una a otra?
