(Estoy asumiendo que has leído la solución del molino de viento y estás familiarizado con los conceptos, como la invarianza en el número de puntos en un lado, la existencia de la línea dado cualquier punto, y la unicidad de la línea dada la dirección).
La diferencia entre el número de puntos es crucial para la solución, porque garantiza la existencia de la línea dado cualquier punto.
Como ejemplo extremo, si nos dan $n$ puntos, y consideramos una línea que pasa por 1 punto de pivote, tiene 0 puntos en 1 lado, y $n-1$ puntos en el otro, está claro que esta línea no puede intersecar el (interior del) casco convexo de los puntos.
En particular, si el interior del casco convexo contiene un punto, entonces ninguna línea de este tipo puede tocar este punto, por lo que este punto no puede ser nunca el pivote.
En particular, con $n=4$ puntos, entonces la línea con 0 puntos en 1 lado y 3 puntos en el otro, no funcionará para el caso en que el casco convexo sea un triángulo, y el otro punto esté dentro. Esto demuestra que una diferencia de 3 puntos no es suficiente.
Ahora, consideremos el caso en el que tenemos una diferencia de 2 puntos. Esto requiere que haya $ n = 2k+1$ puntos, y la línea tiene 1 punto de pivote, $k-1$ puntos en un lado, y $k+1$ puntos en el otro.
Reclamación: Para cualquier disposición de $n = 2k+1$ puntos, y cualquier punto dado $P$ existe una línea que tiene $k$ puntos en un lado, y $k$ puntos en el otro.
Prueba: Esto se muestra en la solución del problema del molino de viento.
Reclamación: Para cualquier disposición de $n = 2k+1$ puntos, y cualquier punto dado $P$ existe una línea que tiene $k-1$ puntos en un lado, y $k+1$ puntos en el otro.
Prueba: Toma la línea de la solución en el problema del molino de viento, y deja que gire más allá de 1 punto. Ahora tenemos $ k-1$ puntos en un lado, y $k+1$ puntos en el otro.
Reclamación: Dada una dirección orientada (no paralela al vector definido por 2 puntos), existe una única línea que pasa por 1 punto, y tiene $k-1$ puntos en un lado y $k+1$ puntos en el otro.
Tenga en cuenta que la "dirección orientada" significa que una línea con $k+1$ puntos "encima" es diferente a una línea con $k-1$ puntos "por encima".
Prueba: Toma la línea y muévela lentamente por todos los puntos. En algún momento, debemos tener exactamente $k-1$ puntos en un lado, pasa por 1 punto de pivote, y por lo tanto tiene $k+1$ puntos en el otro lado.
Reclamación: Dicha línea satisface las condiciones del problema del molino de viento.
Prueba: Repite la solución. Todo lo que necesitábamos era A) La existencia de la línea a través de cualquier punto dado y B) La unicidad de la línea dada la dirección, que se muestra arriba.
Corolario: Para impar $n$ podríamos usar una diferencia de 2 puntos.
Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es 2.
Nota: Donde este argumento se rompe para diferencias mayores, es que no podemos garantizar la existencia de una línea que tenga $ k-2$ puntos en un lado, y $k+2$ puntos en el otro. Lo que esto significa es que al girar una línea a través de este punto, se alterna entre tener $k, k $ puntos y $ k-1, k+1 $ puntos.
¿Puedes encontrar una configuración de este tipo en la que no haya una línea con $k-2, k+2$ para un punto determinado?
Del mismo modo, para $n = 2k$ incluso, hay una configuración donde la línea a través del punto siempre tiene $k-1, k$ puntos.
