Demostrando la surjetividad del mapa exponencial.

Question

TL;DR: Cómo mostrar la ec. (2) utilizando la ec. (1)?

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Actualmente estoy teniendo un poco de dificultad con el siguiente problema. En clase demostramos que $$\mathfrak{so}(1,3;\mathbb{C})\cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}),\tag{1}$$ donde $\mathfrak{so}(1,3;\mathbb{C})$ es el álgebra de Lie del grupo propio de Lorentz sobre $\mathbb{C}$ y $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ el álgebra de Lie de $SL(2,\mathbb{C})$ . Si he entendido bien a mi tutor, es posible demostrar que $$SO(1,3;\mathbb{C})\cong SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C}),\tag{2}$$ utilizando la ec. (1). Para que esto sea cierto tendríamos que demostrar que $\exp$ es sobreyectiva en las álgebras de Lie por separado, aka $$\exp: \mathfrak{g}_i\to G_i,$$ donde $\mathfrak{g}_1=\mathfrak{so}(1,3;\mathbb{C}),G_1 = SO(1,3;\mathbb{C})$ y $\mathfrak{g}_2=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ , $G_2 =SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ .

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El problema con esto es que no sé realmente cómo hacerlo... Pensé que iba a tratar primero de mostrar que $\exp:\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\to SL(2,\mathbb{R})$ es sobreyectiva y luego tratar de resolver el resto a partir de ahí. Por desgracia, resultó que $\exp$ no es sobreyectiva en esta álgebra de Lie.. ¿Podría alguien sugerir algunas estrategias para demostrar esto?

Answer 1

El resultado $SO(3,1, C)=Sl(2,C)\times Sl(2,C)$ no es cierto. La lfh es isomorfa a $SO(4,C)$ cuyo centro es $Z/2Z$ . El lado derecho tiene centro $Z/2Z \times Z/2Z.$ Dejemos que $Z\subset Sl(2,C)\times Sl(2,C)$ el subgrupo con dos elementos $(Id,Id) ; -(Id,Id)$ .

Si quiere demostrar que $Sl(2,C)\times Sl(2,C) /Z$ es $SO(4,C)$ primera identificación $C^4$ con el conjunto de $(2,2)$ matrices con cuadrática del determinante $(ad-bc)$ (¡es una forma cuadrática!).

Nótese que esta forma cuadrática es $Sl(2,C)\times Sl(2,C) /Z$ invariante donde la acción es $(g,h).M=gMh^{-1}$ con el núcleo $Z$ .

Así que tenemos un morfismo $Sl(2,C)\times Sl(2,C)/Z\to SO(4,C)$ .

Es bastante fácil demostrar la inyectividad: si para cada $M$ , $M=gMh^{-1}$ entonces tenemos $g=h$ (Deja que $M=id$ ), y luego $g$ conmutan con toda matriz por lo que deben ser centrales de determinante 1.

Para la subjetividad esto se deduce de la dimensión más la inyectividad del morfismo analítico que acabamos de describir.