Calcular el residuo de $\frac{z^{3/2}\log(z)}{(1+z^{2})^{4}}$ en $z = i$ .

Question

Para encontrar el residuo de $$\frac{z^{3/2}\log(z)}{(1+z^{2})^{4}} \qquad \qquad(1)$$ en $z = i$ Esto es lo que he pensado:

Expresa esto como una fracción parcial: El problema es que la descomposición de (1) da como resultado algo como

$$P_{1}(\frac{1}{z-i}) + P_{2}(\frac{1}{z+i}) + g(z)$$ donde

$g(z)$ es una función analítica y $P_{j}(z)$ es como un polinomio de grado finito. El $g(z)$ existe, ya que (1) no es una función racional, en cuyo caso (siempre y cuando el grado del denominador supere al del numerador), la descomposición de la fracción parcial es algún sumatorio de $P_{j}$ s.

Así, la inclusión de $g(z)$ me pone un poco nervioso intentar resolver esto.

Se podría expresar (1) como

$$ \frac{\frac{z^{3/2}\log(z)}{(z+i)^{4}}}{{(z-i)^{4}}}$$

y luego tomar una tercera derivada del numerador, evaluar este resultado en $i$ y luego dividir por $3!$ pero eso también es un lío.

Y no tengo ni idea de cómo se podría expresar la serie de Laurent de (1).

¿Hay alguna forma elegante de hacerlo?

Answer 1

Lo más sencillo sería señalar que $$f(z) = \frac{z^{3/2} \log (z)}{(z+i)^4} * \frac{1}{(z-i)^4}=g(z) \frac{1}{(z-i)^4}$$ donde $g(z)$ es analítico y no nulo cerca de $z=i$ . Por lo tanto, hay un polo de orden $4$ .

Para encontrar el residuo, utiliza el siguiente teorema:

Teorema: Si $f(z)$ tiene un polo de orden $m$ en $z_0$ entonces $$R [ f,z_0 ] = \lim_{z \to z_0} \frac{1}{( {m - 1} )!} \frac{d^{m - 1}}{dz^{m - 1}} ( ( z - z_0 )^m f( z )).$$

Así, $$R[f, i] = \lim_{z \to i} \frac{1}{3!}\frac{d^3}{dz^3} \frac{z^{3/2} \log (z)}{(z+i)^4}. $$ Habrá algo de desorden con las reglas de cociente y producto anidados y repetidos, pero es "sólo" un problema de Calc I a partir de aquí.